Matematické Fórum

Silvie22 · 18. 08. 2014 22:53

Příklad:
Máme n kostek, každá kostka má šanci p na úspěch, chceme alespoň k úspěchů. Jaká je pravděpodobnost takového jevu? Tady si ještě poradím s http://www.mathwords.com/b/bernoulli_trials.htm

Ale co dělat s problémy typu:
Mám n obyčejných 6 hranných kostek, jaká je pravděpodobnost, že hodím alespoň p * hodnotu 1, q * hodnotu 2, r * hodnotu 3, s * hodnotu 4 s tím, že pokud hodím 6, tak to lze uznat i jako 1, nebo 2, nebo 3, nebo 4.

S čísly by mohl být případ: mám 4 kostky a chci hodit alespoň dvě dvojky a jednu jedničku. Za každou šestku můžu nehodit jedno z požadovaných čísel

Xellos · 19. 08. 2014 18:10

Ten priklad sa da riesit sposobom ktory dost prudko rastie s poctom cisel ktore 6-tka nahradzuje. Totiz ak mam vseobecne mnozinu $T$ cisel takych ze vysledok $x \in T$ musi padnut aspon $k_x$ -krat a stane sa mi, ze to splnim pre vsetky $x \in S \subset T$ , potom spolu 6-tiek a vsetkych $x \in T\backslash S$ musi padnut aspon $\sum_{x \in T\backslash S}{k_x}$ . Ak si zvolim mnozinu $S$ a pocet hodov $m$ kedy padlo daco z $S$ , potom z $n-m$ zvysnych hodov musim aspon $\sum_{x \in T\backslash S}{k_x}$ -krat hodit jedno z $|T|-|S|+1$ cisel a kazde $x \in T\backslash S$ musim hodit $< k_x$ krat. Ta posledna podmienka je otravna, ale znamena to ze ak tu podmienku odignorujem a vyratam vysledky (pravdepodobnosti) pre vsetky nadmnoziny $S$ , mozem ich odratat a tym dostat spravny vysledok pre $S$ akoby som podmienku $< k_x$ neodignoroval. (Da sa to este zrychlit cez princip inkluzie a exkluzie.)

Zbavili sme sa 6-tky za cenu ratania asi $2^{|T|}$ vysledkov namiesto jedneho, teraz nam staci riesit ulohu "aka je pravdepodobnost ze kazdeho $x \in T$ hodime aspon $k_x$ "?

Silvie22 · 19. 08. 2014 22:20

Přiznám se, že tomu úplně nerozumím.

Jelikož mohu využít počítač, tak jsem si to chtěla naprogramoat se zkoušením všech možností.

Např. u 4 kostek generovat možnosti:
4 0 0 0 0 0 (padly 4 jedničky)
3 1 0 0 0 0 (padly 3 jedničky a jedna dvojka)
3 0 1 0 0 0 (padly 3 jedničky a jedna trojka)
atd.

Pro každou možnost není problém zjistit, jestli je daný hod úspěšný. Těchto možností není zdaleka n^6. Jen teď je problém, že tyto možnosti nemají stejnou pravděpodobnost.

Výčtem jsem zjistila, že u tří kostek je jen jedna kombinace hodů, aby padlo 3x stejné číslo, 3 kombinace hodů, aby padlo 2 x stejné číslo a 5 kombinací, aby padla nějaká konkrétní trojice.

Věřím, že na tohle už bude vzorec. Např. jaká je pravděpodobnost, že z pěti kostek padnou dvě dvojky, dvě trojky a jedna pětka?

Silvie22 · 20. 08. 2014 13:12

Druhý poddotaz si zodpovím sama. Jedná se o problém permutace s opakováním. Jen mi to hned nedošlo.

LukasM · 23. 08. 2014 12:19

↑ Silvie22:
Nezkoumal jsem to celé, ale jestli můžeš použít počítač, tak můžeš taky použít náhodná čísla - prostě udělat 100 000 pokusů, počítat si úspěšné, a pak si to podělit a máš odhad pravděpodobnosti. To by bylo nejrychlejší, ale výsledek bude přibližný (byť pro vysoký počet hodů skoro přesný).

Matematické Fórum

#1 18. 08. 2014 22:53

Pravděpodobnost v deskových hrách - konkrétní dotaz.

#2 19. 08. 2014 18:10

Re: Pravděpodobnost v deskových hrách - konkrétní dotaz.

#3 19. 08. 2014 22:20

Re: Pravděpodobnost v deskových hrách - konkrétní dotaz.

#4 20. 08. 2014 13:12

Re: Pravděpodobnost v deskových hrách - konkrétní dotaz.

#5 23. 08. 2014 12:19

Re: Pravděpodobnost v deskových hrách - konkrétní dotaz.

Zápatí