Matematické Fórum

pavel77 · 31. 08. 2014 15:53

Ahoj všem,

mohl by mi někdo prosím velmi stručně nastínit, jakými kroky se má počítat tato limita?

$\lim_{x\to\infty}(\frac{2x+3}{2x+1})^{x+5}$

Vím že by to mělo vyjít $\mathrm{e}$ ale nevím jak se k tomu dopracovat. Chápu dobře, že bych měl upravovat do vzorce $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{a}{n})^n$ ?

Děkuji moc,
Pavel

misaH · 31. 08. 2014 15:58 — Editoval misaH (31. 08. 2014 15:59)

↑ pavel77:

Neviem, či to pomôže, ale

$(2x+3):(2x+1)=1+\frac {2}{2x+1}$

vanok · 31. 08. 2014 16:02

Ahoj ↑ pavel77:
Mozes vyuzit tuto rovnost:
$(\frac{2x+3}{2x+1})^{x+5}= (1+\frac 2{2x+1})^{x+5}$

Freedy · 31. 08. 2014 16:23 — Editoval Freedy (31. 08. 2014 16:25)

A ještě také tuto rovnost:
$(1+\frac{2}{2x+1})^{x+5}=(1+\frac{1}{x+\frac{1}{2}})^{x+\frac{1}{2}+\frac{9}{2}}=\underbrace{(1+\frac{1}{x+\frac{1}{2}})^{x+\frac{1}{2}}}_{\lim_{x\to\infty }=?}\cdot\underbrace{(1+\frac{1}{x+\frac{1}{2}})^{\frac{9}{2}}}_{\lim_{x\to\infty }=?}$

pavel77 · 31. 08. 2014 20:14

Ahoj děkuji moc.
Chápu to tedy dobře, že uvedená rovnost je výsledkem dělení polynomů?
Také potom, viz. výpočet od Freedyho, vypočtu každou limitu, tedy první dle vzorce vyjde $e^{1}$ a druhá 1, tedy výsledek $e$ , chápu to správně?

Děkuji moc
P. $e$

jelena · 01. 09. 2014 00:27 — Editoval jelena (01. 09. 2014 00:35)

Zdravím,

↑ pavel77: ano, část úpravy je postavena na dělení polynomů, aby se podařilo vyčlenit 1. Zbytek také popisuješ dobře, případně překontroluj v nástrojích (WA).

Jinak technik výpočtu limity tohoto typů je více - v tomto tématu je takový přehled jak mechanických (ta moje) úprav, tak i matematicky více opodstatněných od kolegů. Kolega ↑ Freedy: vede úpravu přes vytknutí 2 v jmenovateli, potom vyčleňuje v exponentu "stejnou část", jako je jmenovatel.

Obdobnou metodou je substituce jmenovatele $x+\frac{1}{2}=t$ , odkud vyjádřit $x$ a dosadit do výrazu exponentu ( $x+5=t-\frac{1}{2}+5=t+\frac{9}{2}$ ).

Ještě drobnost k Tvému vzorci v 1. příspěvku - je s překlepem v proměnné ( $x$ a $n$ ) + tento zápis je až důsledkem pozoruhodné limity $\lim_{x\to\infty}$1+\frac{1}{x}$^x=e$ a je tak: $\lim_{x\to\infty}$1+\frac{a}{x}$^x=e^a$