Matematické Fórum

holcina.16 · 01. 09. 2014 18:44

Ahoj, pomohl by mi někdo vyřešit příklad?

Pro které hodnoty k je vektor d=(3,6,k) lineární kombinací vektorů a=(1,1,3), b=(2,-1,2),c=(2,2,1)?

Děkuji.

Jj · 01. 09. 2014 19:05 — Editoval Jj (01. 09. 2014 19:16)

↑ holcina.16:

Dobrý den. Řekl bych, že vyjít z definice lineární kombinace vektorů:

$\vec{d} = C_1\cdot \vec{a} + C_2\cdot \vec{b} + C_3\cdot \vec{c} \Rightarrow$

$(3,6,k) = C_1\cdot (1,1,3) + C_2\cdot (2,-1,2) + C_3\cdot (2,2,1)$

vynásobit vektory na pravé straně konstantami Ci, porovnáním levé a pravé strany rovnice
po složkách sestavit 3 lineární rovnice pro konstanty Ci (závislé na k) + určit podmínky pro k.

To už dáte.

holcina.16 · 03. 09. 2014 18:56

Mě to právě moc nevychází.

Takže mám:
x+2y+2z=3
x-y+2z=6
3x+2y+z=k

Z prvních dvou rovnic jsem si spočítala, že y=-1, ale nevím jak dál.

Jj · 03. 09. 2014 19:14

↑ holcina.16:

Dopočítat x, z ze třetí a některé další rovnice a z mezivýsledku y = -1. Třeba

$x-y+2z=6,\; 3x+2y+z=k,\; y = -1 \Rightarrow$

dvě rovnice pro dvě neznámé x, z:
$x + 2z = 5$
$3x + z = k+2$

holcina.16 · 03. 09. 2014 19:24

↑ Jj:

Ano, z toho mi vyšlo x=(2k-1)/5 a z=(13-k)/5.

Ale jak napsat odpověď, pro které k je lineární kombinací?

Jj · 03. 09. 2014 21:34

↑ holcina.16:

Po dosazení $C_1=(2k-1)/5,\; C_2=-1,\; C_3=(13-k)/5$

do $C_1\cdot \vec{a} + C_2\cdot \vec{b} + C_3\cdot \vec{c}$

a po spočtení dostaneme

$(2k-1)/5 \cdot (1,1,3) -1 \cdot (2,-1,2) + (13-k)/5 \cdot (2,2,1)=(3,6,k)$ , což platí pro libovolné k.

Takže bych řekl, pro jakékoliv 'k' lze určit konstanty $_{C_{1,2,3}}$ tak, aby se vektor $_{\vec{d}}$ dal vyjádřit
jako lineární kombinace vektorů $_{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ .

Např. pro k = 0 bude $C_1=-1/5,\; C_2=-1,\; C_3=13/5$ a platí

$-1/5 \cdot (1,1,3) -1 \cdot (2,-1,2) + 13/5 \cdot (2,2,1)=(3,6,0)$

Hanis · 03. 09. 2014 21:48

Ještě druhý pohled:

není problém ukázat, že vektory a,b,c tvoří bázi vektorového prostoru V=R^3 nad tělesem R. Protože pro všechna k leží vektor d v U, lze ho vyjádřit jako lineární kombinaci báze.

Matematické Fórum

#1 01. 09. 2014 18:44

Lineární kombinace vektorů s parametrem

#2 01. 09. 2014 19:05 — Editoval Jj (01. 09. 2014 19:16)

Re: Lineární kombinace vektorů s parametrem

#3 03. 09. 2014 18:56

Re: Lineární kombinace vektorů s parametrem

#4 03. 09. 2014 19:14

Re: Lineární kombinace vektorů s parametrem

#5 03. 09. 2014 19:24

Re: Lineární kombinace vektorů s parametrem

#6 03. 09. 2014 21:34

Re: Lineární kombinace vektorů s parametrem

#7 03. 09. 2014 21:48

Re: Lineární kombinace vektorů s parametrem

Zápatí