Matematické Fórum

Lurina · 03. 09. 2014 16:09

Řeším tuto nerovnici s absolutní hodnotou:
$|3x-1|\le 2$
asi bych si to upravila do tvaru: $|3x-1| -2\le 0$
vypočítala jsem si, že nulový bod je $x=\frac{1}{3}$
Ale nevím, jak zjistit řešení :P

Freedy · 03. 09. 2014 16:18

Ahoj,

obě strany nerovnice jsou kladné, proto ji můžeš umocnit na druhou a tím se zbavit absolutní hodnoty a nepřijít o žádný interval řešení.

Pokud je ti přednější tvůj postup, tak stačí jen zvolit interval, na kterém budeš danou nerovnici řešit a podle toho odstranit absolutní hodnotu.
Nulový bod, jak si správně napsala, je x = 1/3.
Proto rozdělíš řešení do dvou částí.
1) řešíš nerovnici na intervalu: $(-\infty ;\frac{1}{3}\rangle$
Na tomto intervalu je výraz uvnitř absolutní hodnoty záporný. Proto ho přepíšeš tak, aby po vložení jakéhokoliv čísla z tohoto intervalu nabýval stejné hodnoty, jako kdyby tam byla absolutní hodnota, tzn. obrátíš znaménka u každého členu uvnitř absolutní hodnoty:
$-(3x-1)\le 2$ a řešíš tuto nerovnici. Průnik výsledného intervalu a intervalu na kterém tuto nerovnici řešíš bude řešení první části.

2) řešíš nerovnici na tom zbylém intervalu. Na daném intervalu však už výraz uvnitř absolutní hodnoty je pořád kladný, proto ji můžeš odstranit bez jakékoliv úpravy a stejný postup jako výše.

Nakonec sjednotíš oba výsledné intervaly.

HULKEE · 03. 09. 2014 16:27 — Editoval HULKEE (04. 09. 2014 09:13)

Pak se podíváš na nulový bod a budeš to řešit pro dva případy. První případ je , když je x menší nebo rovno jedné třetině a druhý, pokud je větší než jedna třetina.

Pokud je X menší než 1/3, tak je hodnota výrazu v absolutní hodnotě záporná a tím pádem můžu odstranit absolutní hodnotu tak, že ji nahradím závorkou a tu vynásobím -1.

Pokud je X větší než 1/3, tak je hodnoty výrazu kladná a absolutní hodnotu prostě nahradím závorkami a řeším dál jako nerovnici bez absolutní hodnoty.

1. pro $x\le\frac{1}{3}$ :

$-(3x-1)-2 \le 0$

$3x + 1 \ge 0$

$x \ge -1/3$

Takže máme podmínku, že X musí být menší nebo rovno 1/3 a větší nebo rovno -1/3. Z první půlky títo nerovnice nám tedy vyšlo řešení v intervalu $<-1/3,1/3>$ .

2. pro $x>1/3$

$3x-3 \le 0$

$x \le 1$

Z druhé části nám vyšlo, že x musí být větší než 1/3 a menší než 1. Když spojíme intervaly z obou částí, dostaneme interval $<-\frac{1}{3},1>$

P.S.: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab … 9+%3C%3D+2