Matematické Fórum

Brzls · 03. 09. 2014 18:03

Zdravím

Mechanika mi vždycky dělala problém...

Máme čtyři stejné tyče spojené klouby (bez tření) položené na podložce (opět bez tření). Ze začátku jsou v klidu a dohromady tvoří čtverec. Na bod P začneme působit silou tak, že počáteční zrychlení bodu P bude mít zrychlení o velikosti a_p ve směru uhlopříčky PQ. Jaké počáteční zrychlení bude mít bod Q???

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-09/59837_asd.png

odpověď: a_q=-0.2*a_p

Já si to představuji, že dlouhodobě se ten čtverec začne roztahovat (uhlopříčka pq se bude zkracovat, vznikne kosodélník) bod P "pojede" dopředu a bod q dozadu (těžiště se při tom bude posouvat dopředu).
Na to abych určil to zrychlení, tak nějak musím určit síly působící na jednotlivé tyče a pak by to možná nějak šlo, třeba se to ale bude řešit jinak...
Ale jak to netuším.

Děkuji za pomoc

hew.hois

↑ Brzls:
Ahoj, píšu z mobilu a z hospody, tak mě ber s rezervou :-) Vyšlo mi v podstatě to, co jsi předpokládal:

S1 je střed čtverce PBQA, alfa je úhel APQ, tedy pi/4.
Bod P se na začátku pohybuje se zrychlením a_P směrem ke Q. Proto se body A a B (horní a spodní vrcholy čtverce) pohybují (od středu čtverce S nahoru/dolů) se zrychlením o velikosti a_P->A=a_P*cos(alfa)*cos((pi/2)-alfa))=a_P*cos^2(alfa) , v našem případu-> totéž platí i pro složku a_P->B. Tato zrychlení nemění polohu středu S vzhledem k ose "y"..
Zároveň body A i B zrychlují ve směru původního zrychleni a_P, tedy a_P/4 (protože při stejném "účinném" úhlu už síla F působí na dvojnásobek hmotnosti (do hry vstoupí ramena AQ aBQ) a protoze sin(pi/4)=cos(pi/4).
Už mi Sylva nese 7. pivo, tak to zestručním: ramena čtyřúhelníku mají vždy konstantní délku, tedy se body A,B,P,Q pohnou, kdykoliv se "trochu" pohne jeden z nich.
Po výpočtech (popsal jsem je tu trochu rozvolněně, ale mám jich 3 A4-ky) jsem si to nakreslil. Z obrázku je vidět, že zrychlení bodu Q má poloviční velikost a opačnÿ směr než původní a_P, tedy že P a Q se k sobě v okamžiku, kdy síla začne působit, blíží se zrychlením 1,5 a_P
Obrázek nepřikládám, smálo by se mi celý fórum.
Tedy tvoje domněnka: bod Q "couvá" ... Podle mě ano.
BTW: i střed soustavy se pohnul, a to doleva.

Ale třeba jsem něco podcenil/vynechal - svět bez tření není světem naší zkušenosti.
M. $$$$

Brzls · 04. 09. 2014 17:15 — Editoval Brzls (04. 09. 2014 17:20)

↑ hew.hois:
Čau

no jo jenže podle výsledků nemá být poloviční ale pětinové.
Tak či tak po 7. pivu celkem slušný výkon, já se zatím nehnul nikam :)
I když je pravda že už tam jednou chybu měli tak na to ještě kouknu.

FliegenderZirkus

↑ Brzls:

Ahoj, nejspíš to jde vyřešit elegantněji, ale nejjistější je sestavit pohybové rovnice a vyjádřit z nich hledané zrychlení pro t=0 dosazením počátečních podmínek.

Já jsem použil Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Máme dva stupně volnosti, např. $x_P, \alpha$ , kde alfa je úhel mezi úhlopříčou a jednou ze stran. Spočítá se kinetická energie a zní se vyjádří levá strana pohybové rovnice atd. Počítal jsem s délkou ramena $l$ , hmotností m a momentem setr. $\frac{1}{12}ml^2$ Vyšlo mi:

$2m\ddot{x}_P + 4ml(\cos(\alpha)\dot{\alpha}^2+\sin(\alpha)\ddot{\alpha}) = -F$
$\frac13 ml^2\ddot{\alpha}+4ml(\ddot{x}_P\sin\alpha+\dot{x}_P\cos(\alpha)\dot{\alpha})+2ml^2(4\dot{\alpha}^2\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\ddot{\alpha}(2\sin^2\alpha+\frac12)) \\ -4ml\dot{x}_P\dot{\alpha}\cos\alpha-4ml^2\dot{\alpha}^2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac12 Fl\sin\alpha$

Pak jsem dosadil $\ddot{x}_P = -a_p$ (kladný směr x jsem zvolil doprava)
a $x_P(t=0) = 0, \dot{x}_P(0) = 0, \alpha(t=0) = \frac{\pi}{4}, \dot{\alpha}(0) = 0$
a vypočítal $\ddot{\alpha}(t=0)$ . Z toho se pak dá dopočítat $\ddot{x}_Q(t=0)$ přes geometrii. Vyšlo mi ale něco trochu jiného a sice $\ddot{x}_Q(t=0) = \frac25 a_p$ , jenže jsem počítal tak rychle, že bych tomu nepřikládal velkou váhu, nejspíš tam někde mám chybu. Šlo mi jen o nastínění možného postupu!

Brzls · 05. 09. 2014 16:59

↑ FliegenderZirkus:
Čau, sestavit pohybový rovnice klasickým způsobem jsem zkoušel, ale ten rozklad sil v těch kloubech to prostě nějak nezvládám.

Co se týče Lagrangeovych rovnic 2. druhu, tak mi vlastně není jasné jak se s nimi pracuje (pokud se teda nepohybujeme v potenciálním poli).

Chápu tedy, že zavedeme zobecněné souřadnice, a pomocí nich vyjádříme pohybovou energii. Jenže co potom s tou pravou stranou rovnic?? (Jak určíme zobecněnou sílu)

Mohu to nějak "vztahovat" celé k těžišti? Tedy že mi pravá strana přejde na
$F_{}\frac{\partial x_{T}}{\partial q_{j}}$
??

Nebo prostě mi není jasné jak se sestavuje ta pravá strana. Tedy tak, abych nemusel dělat rozklad sil v těch kloubech, pak by stejně asi bylo lepší použít newtonův zákon.

Mohl bys mi to prosím nějak objasnit??

FliegenderZirkus · 05. 09. 2014 18:05

↑ Brzls:

Ono je víc způsobů jak tu Lagrangeovu rovnici sestavit. Já znám a používám tenhle:
$\frac{d}{dt}$ \frac{\partial E_{\text{kin}}}{\partial \dot{\mathbf{q}}} $ - \frac{\partial E_{\text{kin}}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{d}$ .
Když zkoumáme soustavu, ve které se vyskytují pouze konzervativní síly, tak můžeme pravou stranu vyjádřit derivací potenciální energie:
$\mathbf{d} = -\frac{\partial E_{\text{pot}}}{\partial \mathbf{q}}$ .
My ale chceme, aby v rovnici vystupovala obecná síla F, která konzervativní být nemusí. V tom případě jde použít vzorec
$\mathbf{d} = \sum_{i=1}^{n}(\mathbf{J}_{P,i}^T \mathbf{f}_{i} + \mathbf{J}_{R,i}^T \mathbf{m}_{i})$ , kde
n je počet těles, f je vektor sil a m momentů působících na těleso. J_P je Jakobiho matice translace a J_R Jakobiho matice rotace.

Obecný postup by mohl vypadat takhle:
Pro každé těleso i:
1) Vyjádřit matici rotace ${}^{0i}\mathbf{S}$ , která transformuje vektor ze souř. systému spojeného s tělesem do globálního systému 0.
2) Spočítat souřadnice těžiště $\mathbf{r}_i$ , ať už pomocí matice z bodu 1), nebo náhledem.
3) Vyjádřit Jakobiho matici posuvů: $\mathbf{J}_{P,i} = \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial \mathbf{q}}$
4) Spočítat Jakobiho matici rotace. Když se chceme vyhnout vektorovému součinu, tak to jde např. tak, že pro každou zobecněnou souřadnici q_j spočítáme antisymetrickou matici: $\frac{\partial {}^{0i}\mathbf{S}}{\partial q_j} \cdot{}^{0i}\mathbf{S}^T$ . Prvek (1,3) této matice bude prvkem (2,j) Jakobiho matice rotace, prvek (2,1) prvkem (3,j) a konečně prvek (3,2) prvkem (1,j).
5) Spočítat kinetickou energii a z ní vyjádřit pravou stranu Lagrangeovy rovnice.
6) Napsat vektory vnějších sil a momentů (v globálním systému) a přenásobit je těmi Jakobiho maticemi.

Píšu to jak by se to programovalo, na papíře to asi jde zapsat jednodušeji, hlavně ta Jakobiho matice rotace.
Nejsem si uplně jistý českou terminologií, možná se ty výrazy takhle přesně nejmenují.

Dej vědět jestli jsi to po mně přepočítal a případně co ti vyšlo...

Brzls · 05. 09. 2014 18:23

↑ FliegenderZirkus:
Oukej, díky určitě na to kouknu akorát teď budu pár týdnů pryč

Brzls · 12. 09. 2014 00:57

Cau

Tak jsme to zbytecne prekombinovali. Kdyz uvazim, ze sila F mize byt konstanrni (stejne nas zajima jen pocatek pohybu) tak ji lze priradit potencial -Fx. No a pak staci udelat lagrangian a pouzit lagrangeovy rovnice pro potencialni pole. Vysledek pak opravdu vychazi jedna petina.
pozdeji sem muzu dat i nejaky mezivypocty

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2014 18:03

Kinematika/mechanika

#2 03. 09. 2014 21:46 — Editoval rss (03. 09. 2014 21:52) Příspěvek uživatele rss byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT

#3 03. 09. 2014 22:06 Příspěvek uživatele Brzls byl skryt uživatelem Brzls. Důvod: taktéž OT

#4 04. 09. 2014 00:50 — Editoval hew.hois (04. 09. 2014 01:35)

Re: Kinematika/mechanika

#5 04. 09. 2014 17:15 — Editoval Brzls (04. 09. 2014 17:20)

Re: Kinematika/mechanika

#6 04. 09. 2014 17:45 — Editoval FliegenderZirkus (04. 09. 2014 17:46)

Re: Kinematika/mechanika

#7 05. 09. 2014 16:59

Re: Kinematika/mechanika

#8 05. 09. 2014 18:05

Re: Kinematika/mechanika

#9 05. 09. 2014 18:23

Re: Kinematika/mechanika

#10 12. 09. 2014 00:57

Re: Kinematika/mechanika

#11 21. 09. 2014 21:40 Příspěvek uživatele domiblack byl skryt uživatelem domiblack. Důvod: omyl

Zápatí