Matematické Fórum

taz · 04. 09. 2014 17:32 — Editoval taz (04. 09. 2014 17:46)

Zdravím, potřeboval bych poradit nebo nastinit postup jak spočítat vázané extrémy fce:

$f(x,y)=5x-3y$

na množině :

$M={[x,y]\in R^2 : x^2+y^2=136}$

Díky

Freedy · 04. 09. 2014 19:27

Tak funkce f(x,y) je lineární. Směr jejího největšího růstu udává gradient $f=(5;-3)$ . Množina, na které hledáš vázaný extrém je kružnice se středem v bodě [0;0] a poloměrem $r=2\sqrt{34}$ . Pokud se vydáme ve směru gradientu ze středu kružnice dostaneme dorazíme k bodu které je maximem. V opačném směru dojde k minimu.
Takže musíme najít průsečík kružnice a gradientu (5;-3).
To uděláme například tak že vynásobíme gradient takovým číslem, aby byla jeho velikost rovna poloměru kružnice. tedy $k|f|=2\sqrt{34}$ .
Takže:
$25k^2+9k^2=136$
$34k^2=136$
$k^2=4$
k = 2
Takže stačí gradient vynásobit dvojkou a když ho přičteme ke středu kružnice, máme hledané maximum:
$[10;-6]$ V tomto bodě bude maximum. V opačném směru to znamená: $[-10;6]$ se musí nacházet maximum.
Pokud je můj postup špatný, doufám že mě někdo opraví. Děkuji.

taz · 04. 09. 2014 19:31

Doufám, že je to takhle, hezky vysvětleno pochopil jsem. díky moc:)

jelena · 04. 09. 2014 19:44

Zdravím,

další možná varianta vyšetření - ke kolegovi ↑ Freedy: je užití Lagrange funkce (nejspíš bude více univerzální, ale méně elegantní, jak píšou v odkazu od str. 115). V odkazu na obr. 7.5 navíc je vidět i stejnou situaci, jak je v zadání (tedy průsečík nekonečného válce nad zadanou množinou a roviny).

Matematické Fórum

#1 04. 09. 2014 17:32 — Editoval taz (04. 09. 2014 17:46)

Vázané extrémy

#2 04. 09. 2014 19:27

Re: Vázané extrémy

#3 04. 09. 2014 19:31

Re: Vázané extrémy

#4 04. 09. 2014 19:44

Re: Vázané extrémy

Zápatí