Matematické Fórum

Sherlock

Pro (1) $x,y\in \mathbb{R}^{+}$ , pro která platí (2) $x+y+xy=3$ , platí také (3a) $x+y\ge 2$ .

Mé důkazy: (moc mi nejdou, prosím o kontrolu)

sporem:

Budu předpokládat (3b) $x+y<2$ a na tom zkusím vybudovat spor.

Ekvivalentně nerovnost umocním: $x^{2}+2xy+y^{2}<4$

Dále dosadím (2) do nerovnosti:
$x^{2}+6-2x-2y+y^{2}<4$
$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1<0$
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}<0$

Dostaneme neplatnou rovnost, musí tedy platit opak ( $x+y\ge 2$ )