Matematické Fórum

Anonymystik

V učebnici Elektřina a magnetismus od Sedláka a Štolla jsem při výpočtu jednoho příkladu nalezl následující aproximaci: $R_0 - \sqrt{R_0^2 - b^2} = \frac{b^2}{2R_0}$ pro $b \ll R_0$ . Zkoušel jsem si to dokázat, ale nějak se mi to nedaří. Mé nápady:
(1) $R_0 - \sqrt{R_0^2 - b^2} = R_0 (1 - \sqrt{1-\frac{b^2}{R_0^2}})$ , pro poměr $\frac{b}{R_0} = 0$ vychází 0.
(2) Použiju Taylorův polynom 1. řádu v okolí $b=0$ pro funkci $f(b) = R_0 - \sqrt{R_0^2 - b^2} = 0$ . Vychází $T_0f (b) =-\frac{-2b}{2 \sqrt{R_0^2 - b^2}}(0) \cdot b = 0$ .
Nevíte, co s tím? Díky.

Xellos · 06. 09. 2014 14:57

Napr takto:

$R_0 - \sqrt{R_0^2 - b^2} = \frac{R_0^2-\left(\sqrt{R_0^2-b^2}\right)^2}{R_0 + \sqrt{R_0^2 - b^2}}=\frac{b^2}{R_0 + \sqrt{R_0^2 - b^2}}$

kde menovatel je priblizne $2R_0$ .

Cez Taylora by si vybral $R_0$ pred zatvorku a pouzil

$\sqrt{1-x^2}=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$

$R_0\left(1-\sqrt{1-\frac{b^2}{R_0^2}}\right)=R_0\left(\frac{b^2}{2R_0^2}+o\left(\frac{b^2}{R_0^2}\right)\right)$

a ten $o$ -zvysok mozeme zanedbat.

Matematické Fórum

#1 06. 09. 2014 14:26 — Editoval Anonymystik (06. 09. 2014 14:26)

Aproximace

#2 06. 09. 2014 14:57

Re: Aproximace

Zápatí