Matematické Fórum

miso16211

zdravím s týmito integrálmi si neviem dať rady

$\int_{0}^{\infty }x^2\mathrm{e}^{a\cdot x^2}\mathrm{d} x$
$\int_{0}^{\infty }x^3\mathrm{e}^{a\cdot x^2}\mathrm{d} x$

pomocou per partes to asi nepojde, a subtituciou tiez asi to nepojde. Je to vyššia matematika? Akú metodu použiť? Presahuje to rámec prvého rocnika na VŠ?
a je konštanta.

Je to k Maxwelovmu zákonu - rozdelenie molekul podla rýchlosti.

Bati · 07. 09. 2014 14:22

↑ miso16211:
Ahoj,
zapomněl jsi říct, že $a<0$ , jinak dané integrály nemají šanci konvergovat. První uděláš per partes - derivace x a integrování zbytku (substitucí t=a x^2). Druhý převedeš pomocí per partes na předchozí.

miso16211

[↑ Bati:

zbyva mi integral $\int_{}^{}e^{ax^2}.2ax^4dx$ to je ten zbytek. Ako vyjadrim dx pomocou t?

ziskam rovnicu $dt=2ax dx$

Jj · 07. 09. 2014 15:41

↑ miso16211: ↑ Bati:

Řekl bych, že jen elementárnějšími metodami to řešit nepůjde.

$I = \int_{0}^{\infty }x^2e^{-a x^2}dx,\; a > 0$ přejde substitucí $ax^2 = t, dx = \frac{dt}{2ax}=\frac{\sqrt{a}dt}{2at^{1/2}}=\frac{\sqrt{a}}{2a}t^{-\frac{1}{2}}dt$ a po úpravě na funkci Gamma (Eulerův integrál):

$I =\frac{\sqrt{a}}{2a^2} \int_{0}^{\infty } t e^{-t} t^{-\frac{1}{2}}dt = \frac{\sqrt{a}}{2a^2} \int_{0}^{\infty } t^{\frac{3}{2}-1} e^{-t}dt=\frac{\sqrt{a}}{2a^2} \Gamma$\frac{3}{2}$$ ,

kde $\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty } t^{x-1} e^{-t}dt$ a $\Gamma$\frac{3}{2}$=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ , viz Odkaz,

pak $I=\frac{\sqrt{a}}{2a^2}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\frac{\sqrt{\pi}}{4a^{\frac{3}{2}}}$

miso16211

↑ Jj: a n = 0 pri gamme?
a dočerta, som zabudol že pred a ma byť v exponente minusko.Ale vidim ze si tam intuitivne pouzil, poznas tu problematiku?(rozdelenie poctu molekul podla rychlosti)

Jj · 07. 09. 2014 16:16 — Editoval Jj (07. 09. 2014 16:18)

Ještě doplním možnost využití Gaussova integrálu:

$I=\int_{0}^{\infty }x^2e^{-a\cdot x^2}dx=\int_{0}^{\infty }x*xe^{-a\cdot x^2}dx=\begin{vmatrix} x = u, & xe^{-a\cdot x^2} = v' \\ u'=1,& v=-\frac{e^{-a\cdot x^2}}{2a}\end{vmatrix}$ a per partes:

$I=\[-x\frac{e^{-a\cdot x^2}}{2a}\]_0^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a\cdot x^2}}{2a}\,dx$ + substituce $\sqrt{a}x=t,\; dx = \frac{dt}{\sqrt{a}}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{2a^{\frac{2}{3}}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^2}dt=\frac{1}{2a^{\frac{2}{3}}}\cdot \frac{\sqrt\pi}{2}$

čili při využití Gaussova integrálu $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}$ Odkaz
dostáváme stejný výsledek.

Druhý z integrálů z původního dotazu se, jak uvedl kolega ,dá integrací per partes převést na tento případ.

miso16211 napsal(a):
↑ Jj: a n = 0 pri gamme?

Pokud je to dotaz na hodnotu $\Gamma(0)$ , pak ta není definována.

miso16211 · 07. 09. 2014 16:20

↑ Jj: nie pri game mas stupen nejaké n je to stupen derivacie, a ked tam dam 1 vyjde mi ln ked nulu vyjde 1 a ked minus jedna ... na wiki

Jj · 07. 09. 2014 16:27

↑ miso16211:

No pro n = 0 je to 'nultá' derivace, čili původní (nederivovaná funkce) a pro dosazování
záporných čísel do tohoto formálního vzorečku není rozumný důvod.

miso16211 · 07. 09. 2014 18:07

↑ Jj: no ale co tam ma ist, ak chcem vypocitat tento integral $\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty } t^{x-1} e^{-t}dt$ tak musi byt n=0 (v POVODNOM INTEGRALI NA WIKIPEDII S LN).
Co znamená to n? Znamená to to, že funkcia ktorú integrujem sa môze este derivovať? V našom pripade ju nebudem derivovat?

Jj · 07. 09. 2014 18:29

↑ miso16211:

Ne, v úvodu odkazu na wiki je gamma funkce definována takto: $\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty } t^{x-1} e^{-t}dt$

Vzorec $\Gamma^{(n)}(x) = \int_{0}^{\infty } t^{x-1} e^{-t}\ln^ndt$ se Vašeho dotazu netýká, takže jej ignorujte (ukazuje, jak je možno vyčíslit n-tou derivaci funkce gamma v bodě x, což se Vás nijak netýká).

miso16211 · 07. 09. 2014 19:57

↑ Jj: jaaaaaj, diki moc!

Matematické Fórum

#1 07. 09. 2014 13:31 — Editoval miso16211 (07. 09. 2014 14:04)

maxwello integrál

#2 07. 09. 2014 14:22

Re: maxwello integrál

#3 07. 09. 2014 14:58 — Editoval miso16211 (07. 09. 2014 14:58)

Re: maxwello integrál

#4 07. 09. 2014 15:41

Re: maxwello integrál

#5 07. 09. 2014 16:06 — Editoval miso16211 (07. 09. 2014 16:13)

Re: maxwello integrál

#6 07. 09. 2014 16:16 — Editoval Jj (07. 09. 2014 16:18)

Re: maxwello integrál

miso16211 napsal(a):

#7 07. 09. 2014 16:20

Re: maxwello integrál

#8 07. 09. 2014 16:27

Re: maxwello integrál

#9 07. 09. 2014 18:07

Re: maxwello integrál

#10 07. 09. 2014 18:29

Re: maxwello integrál

#11 07. 09. 2014 19:57

Re: maxwello integrál

#12 07. 09. 2014 23:59 — Editoval Bati (08. 09. 2014 00:00) Příspěvek uživatele Bati byl skryt uživatelem Bati.

Zápatí