Matematické Fórum

Anonymystik

Ahojte. Zkusím sem dát jeden výsledek, ke kterému jsem se náhodou dopracoval, avšak kdybych to měl řešit nějak systematicky, tak si s tím asi nevím rady. Ale třeba někoho něco napadne. :-)
Uvažme rekurentně zadanou posloupnost $a_1 = 2, a_{n+1} = \sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}$ .
Dokažte, že $\lim_{n\to\infty }a_n2^n = 2\pi$ .

Kondr · 11. 09. 2014 00:46 — Editoval Kondr (11. 09. 2014 00:47)

Pěkné :)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Anonymystik

↑ Kondr: Ahoj. Hezké řešení.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Já na úlohu přišel takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Eratosthenes · 11. 09. 2014 18:44

ahoj ↑ Anonymystik:,

hezké. Vydal ses po stopách Archimeda. Pokud ovšem ke svému důkazu potřebuješ limitu $\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , tak to sis goniometrické funkce zas tak moc nezakázal's :-)

Anonymystik · 11. 09. 2014 22:13

↑ Eratosthenes: Ano, přesně tak, Archimedes mě hodně inspiroval. Některé jeho práce jsem si i četl, ale konkrétně tohle jsem si odvodil sám. :-)
Jinak ono ta limita má ten význam, že mi říká, že hodně malý oblouk kružnice je skoro stejně dlouhý jako příslušná tětiva (což je z obrázku zjevné). A k tomu znalost pí nepotřebuju. Naopak k vyčíslování goniometrických funkcí obecného úhlu pí znát potřebuju.

Eratosthenes · 12. 09. 2014 08:44

ahoj ↑ Anonymystik:,

ale potřebuješ:-) Jakl bys mi vysvětlil (bez sinů a bez pí), co je to délka oblouku kružnice (ať už malého, anebo velkého)?

Anonymystik · 12. 09. 2014 08:53

↑ Eratosthenes: No, použil bych obecnou definici délky křivky jakožto integrálu (tj. suma infinitezimálních úseček). Například pro délku půlkružnice: $s = \int_{x=-1}^{1} \sqrt{1 + y \prime^2} dx$ , kde $y = \sqrt{1-x^2}$ . Samozřejmě, při praktickém výpočtu je lepší nejprve si kružnici přepsat do polárních souřadnic... Ale my se nebavíme o praktickém výpočtu, ale o tom, zda nějaký integrál (principiálně) konverguje k pí. A jestliže pí definuju jako délku jednotkov půlkružnice a pojem "délka" definuju obecně přes výše napsaný integrál, pak je důkaz správně, ne?

Eratosthenes

↑ Anonymystik:

:-))))))

Zapřaháš vůz před koně. Tvůj postup je v pořádku asi tak, jako tento způsob měření výšky stromu:

Za slunečného dne si k němu přinesu tyč dlouhou metr dvacet. Dvacet čísel zarazím do země, a pak si zakážu měřit délku stínu. Na vrcholek stromu zavěsím laserové dělo a pod strom atomové hodiny. Výšku pak spočítám podle času, který potřebuje laserový paprsek k tomu, aby po odrazu od Měsíce dopadl na fotoodpor atomových hodin.

Tento postup je taky zcela v pořádku. Jenomže se asi každý zeptá: OK, ale proč jsi tedy na začátku vrážel do země tu tyč?

A já se ptám naprosto stejně: když znáš integrál pro délku křivky a rovnici této křivky, proč na začátku vepisuješ nějaké mnohoúhelníky? Proč jednoduše nespočítáš přímo ten integrál??

Myslíš, že ten integrál znal Archimedes? Určitě ne. A měl délku kružnice správně? Určitě ano.

Aby bylo jasno - nic ve zlém. Tvoje snaha odvodit chronicky známé vzorečky pomocí co nejjednodušších nástrojů je chvályhodná. Moc takových lidí (bohužel) není. Ale celou věc zbytečně komplikuješ.

Je třeba, aby ses k tomu postavil obráceně:

Co to je délka kružnice? Nevím.

A tak odvodím posloupnost a_n obvodů mnohoúhelníků kružnici vepsaných. Fajn. Dokážu, že je rostoucí a ohraničená, tudíž má limitu. Pokud se mi to podaří, definuju, že délka kružnice je tato limita.

A je vymalováno. Nepotřebuju k tomu žádné pí. Naopak - abych mohl říct, co je to pí, potřebuju tu limitu. Prostě definuju: Polovinu limity poslopupnosti budu označovat pi.

Hotovo. Žádný sinus, žádný integrál. Ten integrál je koneckonců odvozen úplně stejně, jak jsem popsal (jen pro libovolnou křivku...)

A ještě něco - ten integrál vůbec není "obecná definice délky křivky". Vezmi si křivku, která je spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci (takových křivek existují mraky - nekonečně mnoho řečeno matematicky). Každá z nich má nějakou délku, ale žádná z nich nemá ten integrál...

Anonymystik

↑ Eratosthenes: Ano. To, že ta posloupnost těch obvodů je rostoucí, je zřejmé z trojúhelníkové nerovnosti. Ale to, že je omezená, mi nějak zjevné není.
--
Archimedes to udělal tak, že kromě posloupnosti vepsaných mnohoúhelníků udělal i posloupnost opsaných mnohoúhelníků (a ta je zase zjevně klesající). A tak nějak předpokládal, že to má stejnou limitu (a tou je z definice 2*pí). Ale ... podle mě to logicky vzato z toho nevyplývá, že ta limita je stejné číslo. Můžu si klidně vzít posloupnost {0, 1/2, 3/4, 7/8, ...}, která je rostoucí a omezená (číslem 1). Pak si můžu vzít posloupnost {3, 3 - 1/2, 3 - 3/4, 3 - 7/8, ...}, která je klesající a taky omezená (číslem 2). Ale ty posloupnosti NEMAJÍ stejnou limitu. Podobně u těch vepsaných a opsaných mnohoúhelníků ... jak si můžu být jistý, že ta limita je stejná? Udělal Archimedes ten důkaz vlastně správně?
--
Obecně teda se ptám ... jaká je definice délky křivky, aniž bych použil limitní součet nekonečně mnoha infinitizemálních úseček (což je to samé, jako ten integrál, co jsem tam napsal)?
--
Možná se ptám hloupě, ale zajímá mě to. Díky za vysvětlení. :-)

Eratosthenes · 13. 09. 2014 09:59

↑ Anonymystik:

To, že ta posloupnost těch obvodů je rostoucí, je zřejmé z trojúhelníkové nerovnosti. Ale to, že je omezená, mi nějak zjevné není.

Ale to je jednoduché a sám jsi to řekl:

Archimedes to udělal tak, že kromě posloupnosti vepsaných mnohoúhelníků udělal i posloupnost opsaných mnohoúhelníků

A každý ten opsaný mnohoúhelník je přece delší než libovolný vepsaný, ne? Takže ta posloupnost je shora ohraničená délkou každého opsaného polygonu.

podle mě to logicky vzato z toho nevyplývá, že ta limita je stejné číslo.

Samozřejmě že ne, ale to přece ničemu nevadí. I kdyby ty limity byly různé, tak za délku kružnice prohlásíš jednu z nich. Lépe tu vepsanou - viz dále. A kdyby se ti to nezdálo, co ti brání v tom, dokázat, že ty limity jsou stejné?

Udělal Archimedes ten důkaz vlastně správně?

Záleží na tom, co myslíš tím "správným důkazem". Podle dnešních měřítek nevěděl ani to, co je to limita. Takže kdyby to chtěl někde prezentovat dnes, vysmál by se mu každý středoškolák. Jenže tak by dopadli třeba i Newton s Leibnitzem se svými derivacemi, Cantor s množinami a vlastně všichni, kteří tu byli před námi. Takto se to brát nedá. Důležitá je v tomto případě myšlenka a ta je určitě správně.

jaká je definice délky křivky, aniž bych použil limitní součet nekonečně mnoha infinitizemálních úseček (což je to samé, jako ten integrál, co jsem tam napsal)?

Není. Vezmi si takovouto křivku:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-09/94618_MOVING.png

Jak určíš její délku? Vezmeš měřicí tyč určité délky a začneš měřit:

Zjistíš "přibližnou délku" - první člen posloupnosti. Pak vezmeš kratší tyč

a zjistíš druhý člen. Atd. Dostaneš posloupnost "vepsaných polygonů", která má limitu. No a ta limita je délka křivky.

Ale s integrálem

$s = \int_a^b \sqrt{1 + y \prime^2} dx$

si ani neškrtneš - ta křivky má totiž v každém bodě hrot - takže v žádném bodě nemá tu derivaci, kterou do toho integrálu potřebuješ .