Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 17. 09. 2014 15:23

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Matematická indukce

Dobrý den,

nevím si rady jak uplatnit matematickou indukci v příkladech typu:
$V(n) <=>n$

Například:
Dokažte, že pro n přirozené platí:
$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}...+\frac{1}{n(n+1)}\le 1$

Děkuji za radu

L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#2 17. 09. 2014 15:49 — Editoval vanok (17. 09. 2014 18:21)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Matematická indukce

Ahoj ↑ Freedy:,
Tu ani indukciou nepotrebujes.
Staci konstatovat, ze
$\frac 1{k(k+1)}=\frac 1k -\frac1{1+k}$
plati pre kazde prirodzene nenulove k.
À potom pouzit "dominovu metodu".
Ako si si tu predstavoval pouzit indukciu?

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 17. 09. 2014 16:32

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Matematická indukce

Je to v příkladech na matematickou indukci, tak proto se ptám :)
V podobném příkladu si vymysleli na pravé straně nějaký člen, pomocí kterého to dokazovali. Vůbec jsem nepochopil kde ho vzali, řekli jen "vhodně zvolíme".
Takže výsledek bude:
$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+..\frac{1}{(n-1)(n)}+\frac{1}{n(n+1)}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})...(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)})$
$1-\frac{1}{n+1}\le 1,n\in \mathbb{N}$

L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#4 17. 09. 2014 16:36

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Matematická indukce

Cize po tej uprave dokaz indukciou
$1-\frac{1}{n+1}\le 1,n\in \mathbb{N}$
( mozes uvazovat aj z <)
Co je hracka pre teba.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 17. 09. 2014 17:10 — Editoval Freedy (17. 09. 2014 20:31)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Matematická indukce

To už se ani indukcí dělat nemusí si myslím. Ta posloupnost nalevo je rostoucí a $\lim_{n\to\infty }\frac{n}{n+1}=1$

A jinak, nelze postupovat indukcí už od začátku a nevyužívat teleskopický efekt?

L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#6 17. 09. 2014 18:29

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Matematická indukce

↑ Freedy:,
To je pravda ze ta postupnost je stupajuca a ohranicena z hora cislom 1
( urobil si maly preklep....)

Tiez si spravne poznamenal, ze ta nerovnost staci na dokaz (a dana metoda plati lebo ide o konecny sucet)
Formalne sa da  dokazat aj indukciou, i ked je to pritiahnute za vlasy.

Ina metoda ma tiez nenapada.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 17. 09. 2014 20:52

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Matematická indukce

Některé příklady na indukci jsou opravdu těžké a najít tam něco bývá mnohdy i nemožné.

Každopádně děkuju.

L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson