Matematické Fórum

Freedy · 17. 09. 2014 15:24

Dobrý den,

příkládám ještě jeden příklad, ke kterému jsem nenašel řešení, ale rád bych se ho dozvěděl.
Dokažte, že pro n přirozené platí:
$13|(1+2^{4n+2}+3^{4n+2}+4^{4n+2}+5^{4n+2}+6^{4n+2})$

Děkuji za rady

Bati · 17. 09. 2014 16:07 — Editoval Bati (17. 09. 2014 17:22)

Ahoj,
můžeš zkusit tvrzení dokázat pro $n=0$ a pak pro $n\geq1$ postupovat indukcí takto:
$13|(1+2^{4n+2}+3^{4n+2}+4^{4n+2}+5^{4n+2}+6^{4n+2})\nl \Leftrightarrow 13|(1+16\;2^{4n-2}+81\;3^{4n-2}+256\;4^{4n-2}+625\;5^{4n-2}+1296\;6^{4n-2})\nl (I.P.)\Leftrightarrow 13|(5+20\;2^{4n-2}+85\;3^{4n-2}+260\;4^{4n-2}+629\;5^{4n-2}+1300\;6^{4n-2})\nl \Leftrightarrow 13|(5+20\;2^{4n-2}+85\;3^{4n-2}+629\;5^{4n-2})\nl$ .
Poslední výrok zase můžeš dokazovat indukcí nanovo. Problém ale je, že pro $n=1$ neplatí, takže zadané tvrzení neplatí, nebo je někde numerická chyba.

Edit: Chybu jsem nenašel, takže tvrdím, že to neplatí. Ale je asi jasné, jak by důkaz pokračoval - v každém kroku vyeliminuju aspon jednu mocninu vhodným "přičtením" I.P.

Edit2: Chyba se našla: $85\neq65$ , tvrzení za poslední ekvivalencí pro $n=1$ platí, a tedy i zadané tvrzení možná platí, ale radši už se nebudu pouštět do dalšího počítání s čísly. Další postup je analogický uvedenému. Ty koeficienty je samozřejmě vhodné ještě vymodulit 13.

Freedy · 17. 09. 2014 16:36 — Editoval Freedy (17. 09. 2014 16:39)

Ahoj,

tím postupným přičítáním to jde ale nevím co potom s tím zbytkem no.

pro n=1 to mimochodem platí, protože $\frac{67171}{13}=5167$

Jinak poprosím o vysvětlení 3 a 4 řádku. Vůbec netuším kde se ti tam vzaly tyto cifry. A pokládal jsi vůbec n=k+1? Nebo proč si odevšad vzal z mocniny 4 a roznásobil to takto?

vanok · 17. 09. 2014 16:49 — Editoval vanok (17. 09. 2014 16:50)

Poznamka:
Tu su riesene podobne priklady ( po francuzky ale to iste kazdy vylusti)
http://bnjclerc.perso.neuf.fr/IMG/pdf/r … etique.pdf
Mozes nam napisat povod tvojho cvicenia?

Bati · 17. 09. 2014 16:56 — Editoval Bati (17. 09. 2014 17:23)

↑ Freedy:
Měl jsem na mysli tvrzení $13|(5+20\;2^{4n-2}+629\;5^{4n-2})$ (za poslední ekvivalencí).

Ted k těm řádkům. Formálně správně je asi volit jinou proměnnou - např. to k, jak píšeš, ale to je nepodstatný detail. Co dělám je, že se snažím dokázat tvrzení pro $n$ a přitom můžu libovolně využívat tvrzení pro $n-1$ (indukční předpoklad - $I.P.$ ). Abych mohl využít $I.P.$ udělám nejprve triviální úpravu (předpokládám již $n\geq1$ , takže je to ok). Pak už použiju I.P., resp. ho trochu modifikuji - pomocí faktu, že 13 dělí něco právě tehdy, když 13 dělí (4 x něco) a pokud přičtu\odečtu násobek 13 k násobku 13 tak zas dostanu násobek 13. Tak jsem se dostal na 3. řádek. 4. řádek je snandý důsledek předchozího, nebot $13|260$ , $13|1300$ .

Freedy · 17. 09. 2014 17:07

Ahoj, tohle jsem chápal, že jsi to takhle roztrhl. Podobně jsem postupoval i já, jen ti asi unikl fakt že 13 nedělí 85.

Jinak pro kolegu vánok, zdroj

Bati · 17. 09. 2014 17:13

↑ Freedy:
Aha, díky :-) Spletl jsem si $85$ a $65$ (s tak velkými čísly se moc často nesetkávám :-)
Opravím to...

Freedy · 17. 09. 2014 17:39

Poslední výraz ale pořád není dělitelný třinácti, takže musí být někde chyba.

Bati · 17. 09. 2014 17:42 — Editoval Bati (17. 09. 2014 18:02)

↑ Freedy:
Dokážu, že $13|(5+20\;2^{4n-2}+85\;3^{4n-2}+629\;5^{4n-2})$ pro $n\geq1$ .
$13|(5+20\;2^{4n-2}+85\;3^{4n-2}+629\;5^{4n-2})\nl \Leftrightarrow 13|(5+7\;2^{4n-2}+7\;3^{4n-2}+5\;5^{4n-2})$
Pro $n=1$ dostávám $5+28+63+125=221=17\cdot13$ . Pro $n\geq2$ použiju i.p.:
$13|(5+7\;2^{4n-2}+7\;3^{4n-2}+5\;5^{4n-2})\nl \Leftrightarrow 13|(5+8\;2^{4n-6}+8\;3^{4n-6}+5\;5^{4n-6})\nl (I.P.)\Leftrightarrow 13|2^{4n-6}+3^{4n-6}$ .
Poslední řádek dokážu další indukcí. Pro $n=2$ dostávám $4+9=13$ . Pro $n\geq3$ :
$13|2^{4n-6}+3^{4n-6}\nl \Leftrightarrow 13|3\;2^{4n-10}+3\;3^{4n-10}$ ,
poslední řádek (po vytknutí 3) ale platí dle I.P., takže platí všechny tvrzení odsud nahoru a je hotovo.