Matematické Fórum

maver · 20. 09. 2014 00:11

Dobrý den,

narazil jsem již 2 x na podobný případ substituce:

$4\int_{0}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2} - x^{2}}dx$
kde substituce je $x = a \cdot sint$

A mám dotaz:

Mám se prostě mechanicky naučit, že v tomto případě dám $x = a \cdot sint$
nebo je nějaký návod, kdy a proč se tato substituce používá? Jakou má výhodu?

Xellos · 20. 09. 2014 00:25

Ono to vidno z toho ze $\sqrt{1-\sin^2{x}}=\cos{x}$ a sinus a kosinus maju pekne prepojene d-cka (len cez seba navzajom), takze sa s nimi casto da dobre robit per partes.

Freedy · 20. 09. 2014 00:51 — Editoval Freedy (20. 09. 2014 00:51)

↑ Xellos:
uvažujeme odmocninu z kladného čísla. Takže absolutní hodnota. $\sqrt{1-\sin ^2x}=|\cos x|$

Xellos · 20. 09. 2014 01:36

↑ Freedy:

Hej, ale intuicii za tou substituciou si fakt ani trochu nepomohol...

Eratosthenes · 20. 09. 2014 09:28

ahoj ↑ maver:,

dá se to dělat i per partes:

$u=\sqrt{a^{2} - x^{2}};v'=1$

jelena · 21. 09. 2014 12:11

Zdravím,

jen pár drobných doplnění.

↑ maver: obvykle v učebnicích (a jiných podrobnějších materiálech) bývá v teoretickém úvodu vysvětlen princip metody a odvození/zdůvodnění vzorců (např. základních integrálů, per partes, substituce a jejich variant) - doporučuji alespoň zběžně procházet (není nutné se učit celé odvození samozřejmě). Ale to procházení dává dobré vodítko k principům. Potom metody si smysluplně zařazuješ do šuplíků :-) Jak se odvozuje tato metoda, již v tématu zaznělo (nebo nejdeš v šuplících v odkazu).

Ještě v některém tématu jsi psal, že v postupu integrování nepomohl CAS (je dobré takovou situaci rozebrat v sekci CAS, dost často CAS má zabudovaný "univerzální postup", který neumožní obejit (nebo s určitým zásahem do zadání), ale MAW umožňuje volit postupy krokově, tedy s určitou zkušenosti z něho lze celkem dost vydobyt.

Jelikož vidím, že v tématu je i více postupů, tak tento typ integrálu je dost vícepostupový, další např. zde (doporučuji projít celé téma - na úvod je substituce a Ostrogradský (také doporučuje MAW), na závěr je kompilát s kolegou plisna a s Hlaváčkem (A toho Hlaváčka velmi doporučuji, pokud ještě nemám vypůjčeného nebo z antikvariátu - kolega plisna také doporučuje). Ať se vede.

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2014 00:11

Substituce a výpočet u integrálů - zvláštní případ

#2 20. 09. 2014 00:25

Re: Substituce a výpočet u integrálů - zvláštní případ

#3 20. 09. 2014 00:51 — Editoval Freedy (20. 09. 2014 00:51)

Re: Substituce a výpočet u integrálů - zvláštní případ

#4 20. 09. 2014 01:36

Re: Substituce a výpočet u integrálů - zvláštní případ

#5 20. 09. 2014 09:28

Re: Substituce a výpočet u integrálů - zvláštní případ

#6 21. 09. 2014 12:11

Re: Substituce a výpočet u integrálů - zvláštní případ

Zápatí