Matematické Fórum

Kdosi · 22. 09. 2014 18:20

Přeji příjemné odpoledne.
Tak jsem se jednou zase rozhodl (jak je mým zvykem) ověřit si, jestli je něco, co se užívá už pěkně dlouho, pravda. Tedy rozhodl jsem se dokázat si všechny všechno okolo něčeho co je kulaté. Teda vlastně: obvod kruhu, obsah kruhu, kulovou plochu a objem koule.
Na všechno jsem provedl takoví, matematicky neotesaný, nekorektní důkaz, který jsem dále, po nějaké době, u obsahu a obvodu kruhu upravil k úplné (snad) matematické korektnosti.
Jenže než jsem stihl takto upravit i důkazy ostatní, všiml jsem si malého zádrhelu. Užívám radiány, u důkazu délky kružnice, jenomže (pokud vím) radiány jsou definovány obvodem kružnice. Což je očividně problém.
Proto bych Vás chtěl poprosit o nějaké malé nakopnutí směrem k cíli. Opravdu jen malé, spíš nějaký nápad, s jehož pomocí bych to mohl zvládnout.
Přikládám můj důkaz délky kružnice. Je to jen naskenované, doufám, že to nebude dělat velký problém. Pokud ano, prosím ozvěte se.
Děkuji za Vás čas :)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-09/02775_obvod-page-001.jpg

Kdosi · 22. 09. 2014 18:35 — Editoval Kdosi (22. 09. 2014 18:45)

Ještě bych rád doplnil, že tuším, nutnost úplného předělání důkazu- tudy cesta bez radiánů nepovede. I tak bych to rád nějak zkusil :)
Á pokud je to jinak, určitě poučujte! :)

Rumburak

↑ Kdosi:

Ahoj.

Kompletní vhled do těchto otázek, který by odpovídal novodobým nárokům na matematickou korektnost,
není možný bez "vyšší" matematiky. Pomocí integrálů se definuje délka křivky (např. grafu "rozumné" funkce),
obsah obrazce ohraničeného křívkou atd.

Speciálně: integrálem $\int_{-1}^1 \frac{\d x}{\sqrt{1-x^2}}$ lze vyjádřit polovinu délky kružnice o jednotkovém poloměru.
Tuto konstantu označíme $\pi$ a dalšími postupy, které nejsou úplně jednoduché, můžeme dospět k jejímu
vyjádření jinými prostředky, nejznámější z nich jsou patrně řady

$\frac {\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ...$ (Lenbnizova) ,

$\frac {\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$

a můžeme potom spočítat přibližnou hodnotu této konstanty tak, jak ji známe ze školy nebo z tabulek.

Vzorec $l=2\pi r$ pro délku kružnice o poloměru $r$ se pak snadno odvodí pomocí podobnosti.

Eratosthenes · 23. 09. 2014 17:36

ahoj ↑ Rumburak:,

samozřejmě nic proti integrálům, jen upozorním na několik věcí:

1) kolegovi ↑ Kdosi: určitě (alespoň prozatím) nejde o kompletní vhled
2) Osobně nemám rád dělení matematiky na vyšší a nižší, nebo dokonce elementární. "Výška" a "nízkost" matematiky je do značné míry subjektivní pojem. Podle mě je např. řada "elementárních" problémů podstatně obtížnějších než (například) definice integrálu.
3) Onu "vyšší matematiku" kolega koneckonců použil - použil totiž limitu a (možná nevědomky) větu o sevření, a to zcela korektně. Výpočet jsem sice nekontroloval, ale tento postup ke zjištění délky kružnice zcela jistě vede a je naprosto v pořádku, a to i podle "novodobých nároků na matematickou korektnost".
4) Délka křivky primárně není (a ani nemůže být) definována integrálem

$\int_a^b \sqrt{1-y'}\d x$

ale právě pomocí limit délek vhodných polygonů tak, jak to udělal kolega ↑ Kdosi:. Tímto postupem lze totiž určit např. i délku křivky, která nemá v žádném bodě derivaci a na té si výše uvedený integrál vyláme zuby.

Kdosi · 23. 09. 2014 22:46

Děkuji za reakci.
Předem bych chtěl dodat, že jsem to asi, neuváženě a neověřeně, přehnal s užíváním slova "korektní v mém původním příspěvku, za to se omlouvám.
Z toho co jste psali jsem tedy pochopil (opravte mne, pokud špatně), že délku kružnice s (trochu obohacenými) středoškolskými znalostmi nedokážu.
No, momentálně určitě nepotřebuji mít absolutní vhled do této problematiky, ale možná bych do ní i rád, tak nějak trochu, "nakoukl".
Takže pokud by jste měli nějaké nápady, jak upravit, přepracovat můj pokus o důkaz, tak aby byl korektní, tak bych si je rád poslechl. Ále pokud ne a měli by jste někde po kapsách odkaz na nějaký zdroj, který by mne seznámil s, matematicky korektním, důkazem určitě jej rád prostuduji.
Děkuji za Váš čas :)

LukasM · 24. 09. 2014 09:55

↑ Kdosi:
Těším se na reakci Rumburaka (pokud přijde), určitě se zase něco zajímavého dozvím. Mně ber trochu s rezervou, nejsem tak docela matematik. Každopádně se mi zdá, že pokud něco dokazuješ, musíš si ujasnit jakou máš munici, tj. třeba jaké definice používáš. Takže pokud chceš dokázat vztah $O=2\pi r$ , musí být jasné co myslíš tím symbolem $\pi$ . Souhlasím s tebou v tom, že pokud se tam ten symbol dostal proto, že jsi měřil úhel v radiánech, tak to není důkaz - protože tím vlastně používáš "geometrickou" definici $\pi$ , která právě říká, že to je poměr délky a průměru kružnice. Takže si nemyslím, že ↑ Eratosthenův: bod 3) by platil. Ty vepsané a opsané mnohoúhelníky jsou ale fajn způsob jak najít hranice pro číselnou hodnotu $\pi$ , tak to dělal Archimédes a mnozí další.

Když necháš geometrii a $\pi$ , goniometrické funkce a kdovíco všechno definuješ jinak (pomocí řad) tak se k tomu pak dá jistě přistupovat jinak. Ale to je opravdu trochu jiný level, a teď bych to na tvém místě neřešil a vztah $O=2\pi r$ bych bral jako definici $\pi$ . I s touto definicí můžeš pokračovat s těmi vztahy pro kouli atd., jako to dělali staří Řekové. Jistě to bude zajímavé.

Rumburak · 24. 09. 2014 09:58

↑ Eratosthenes:

Ahoj.

Nic proti Tvým postojům, ale možná bys tedy mohl kolegovi ↑ Kdosi: vysvětlit lépe než já,
jak odstranit "kruh" v jeko důkaze.

... všiml jsem si malého zádrhelu. Užívám radiány, u důkazu délky kružnice, jenomže (pokud vím) radiány jsou definovány obvodem kružnice. Což je očividně problém.

Eratosthenes · 24. 09. 2014 17:15

ahoj ↑ Kdosi:,

Tvůj problém s radiány a problém kolegy ↑ Rumburak: s kruhem je přeci velmi jednoduchý. Goniometrické funkce definuješ v pravoúhlém trojúhelníku a ve stupních. K tomu délku kružnice ani oblouku nepotřebuješ. Teď chceš měřit úhly v něčem jiném než ve stupních. A jednotku chceš vymyslet tak, aby úhel 180 měl velikost délky jednotkové půlkružnice. O té délce víš v tuto chvíli jenom to, že existuje. Nic víc. Ale to stačí. Tuto délku označíš pí, což je v tuto chvíli pouze kladné číslo zcela neznámé hodnoty.

Teď můžeš vzít svůj výpočet od shora dolů a už je to všechno naprosto v pořádku. Samozřejmě až na tu maličkost, že nemáš ani ponětí o tom, že kolik je to pí. Ale zjistit jeho hodnotu (s libovolnou přesností) pak není problém - stačí počítat obvody těch n-úhelníků pro konkrétní zvyšující se n.

A je po problému i po kruhu.

Kdosi · 26. 09. 2014 18:58

Opět zdravím a děkuji za Vaše reakce.
Pokud tedy dobře chápu, s mým důkazem jakýmsi způsobem (po menších úpravách) pracovat mohu. Na úplný vhled bych však potřeboval poněkud vyšší znalosti.
Děkuji za Váš čas a reakce.

Matematické Fórum

#1 22. 09. 2014 18:20

Délka kružnice-důkaz

#2 22. 09. 2014 18:35 — Editoval Kdosi (22. 09. 2014 18:45)

Re: Délka kružnice-důkaz

#3 23. 09. 2014 11:18 — Editoval Rumburak (23. 09. 2014 11:41)

Re: Délka kružnice-důkaz

#4 23. 09. 2014 17:36

Re: Délka kružnice-důkaz

#5 23. 09. 2014 22:46

Re: Délka kružnice-důkaz

#6 24. 09. 2014 09:55

Re: Délka kružnice-důkaz

#7 24. 09. 2014 09:58

Re: Délka kružnice-důkaz

#8 24. 09. 2014 17:15

Re: Délka kružnice-důkaz

#9 26. 09. 2014 18:58

Re: Délka kružnice-důkaz

Zápatí