Matematické Fórum

kolejo · 25. 09. 2014 14:05

Dobrý den přeji,
mám tu takové cvičení na grupy a nevím si moc rady, prosím o pomoc.
Zadání je následující:

$\text{Pro grupu } (G,\cdot,1,^{-1}) \text{ a prvky } a,b\in G \text{ definujeme }$
$[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab.$
$\text{Dále } G' \text{ je podmonoid G generovaný množinou všech prvků tvaru [a,b], tj.}$
$G'=\{ [a_1,b_1]. . .[a_k,b_k] | k \in \mathbb{N}, a_1,b_1,...,a_k,b_k \in G \}$
$\text{a) dokažte, že G' je normální podgrupa grupy G. Rada: využijte vztahů: }$
$[a,1]=1, [a,b]^{-1}=[b,a], c^{-1}[a,b]c=\ldots$

Zadání má víc podúloh, ale rád bych vyřešil toto první.
OT: mohu to kdyžtak dát sem, ty další úlohy?

No a moje snažení? Podíval jsem se na definici:
Vím, že G' bude normální podgrupou grupy G, pokud pro
$g\in G, [a,b]\in G' \text{ bude platit, že } g\cdot [a,b]\cdot g^{-1}\in G'$
První otázka je, jestli jsem vůbec správně pochopil normální podgrupy.

Nyní nevím, jak ten výraz upravit, abych ukázal, že
$g\cdot [a,b]\cdot g^{-1} = ga^{-1}b^{-1}abg^{-1}=[m,n]$
pro nějaká m,n z grupy G.

Myslím, že něco přehlížím. Nebo jsem na správné cestě?
Moc děkuji za pomoc,
kolejo

Hanis · 25. 09. 2014 15:15

Ahoj,
zkus $[m,n]=[gag^{-1},gbg^{-1}]$

kolejo · 25. 09. 2014 15:29

↑ Hanis:
Ahoj,
zkusím:
$[gag^{-1},gbg^{-1}]=$
$=(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}(gag^{-1})(gbg^{-1})=$
$=ga^{-1}g^{-1}gb^{-1}g^{-1}gag^{-1}gbg^{-1}=$
$=ga^{-1}b^{-1}abg^{-1}=$
$g\cdot [a,b]\cdot g^{-1}$

No, tak to vyšlo! Díky. Jaks to udělal? Tos nějak odhadl, nebo jsi využil té "nápovědy", která přišla s tím zadáním?

Tímto tedy je dokázaný, že to normální podgrupa je.

Dám sem i b), to je takové zajímavější.
Nechť N je normální podgrupa grupy G. Pak:
$\text{faktorgrupa } G/N \text{ je komutativní } \Leftrightarrow G'\subseteq N$
Ani nevím, odkud s tímto začít. :)

Hanis · 25. 09. 2014 15:42

To první... prostě jsem si řekl, že aby to vyšlo, tak ty prvky by mohly vypadat jako ag^-1, bg^-1... to nevyjde, protože se ti dostanou "doprostřed, tak tam musíš nějak dostat neutrální prvky...

Do b) se mi teď nechce, nemám po ruce ani Rosického skripta :(

kolejo · 25. 09. 2014 15:45

↑ Hanis:
OK, díky moc.

kolejo · 25. 09. 2014 16:28

Tak jsem našel pomoc zde:
https://proofwiki.org/wiki/Abelian_Quotient_Group
když jsem sháněl rady pro faktorgrupy.
Zkusím tedy přeformulovat důkaz a "přeložit" si ho.
Ukážu dvě implikace.

Mám G grupu, N normální podgrupu G.

G/N je komutativní <=> N obsahuje všechny prvky tvaru a^-1 b^-1 a b, kde a,b \in G (pozn. zatím bez TeXu)

=>
Buď G/N komutativní.
$\forall \text{ }aN,bN \in G/N:$
$a^{-1}Nb^{-1}N=b^{-1}Na^{-1}N$
$\Rightarrow a^{-1}b^{-1}N=b^{-1}a^{-1}N$
$\Rightarrow a^{-1}b^{-1}(b^{-1}a^{-1})^{-1}\in N$
$\Rightarrow a^{-1}b^{-1}ab\in N$

<= (argument je veden přesně naopak, už je docela zřejmé)
$\forall a,b\in G: a^{-1}b^{-1}ab\in N$
$\Rightarrow a^{-1}b^{-1}(b^{-1}a^{-1})^{-1} \in N$
$\Rightarrow a^{-1}b^{-1}N=b^{-1}a^{-1}N$
$\Rightarrow a^{-1}Nb^{-1}N=b^{-1}Na^{-1}N$
Tedy G/N je komutativní

Díky, vyřešeno, radost