Matematické Fórum

binuralka

Dobrý den,

potřeboval bych poradit s těmito úlohami:

1: Mezi každé dva členy nekonečné konvergentní geometrické řady 1 + a + a^2 + a^3 + .... je vlozen dalsi clen tak, ze spolu s puvodnimi cleny tvori opet nekonecnou konvergentni geometrickou radu. Urci soucty obou rad a stanov, pro ktera a (z realnych cisel) je tato rada konvergentni.

2: Dokaz ze rada [suma - nahore nekonecno, dole n=1] 1/n*(n+1) je konvergentni. Stanov jeji soucet.

Děkuji předem za čas.

Arabela

↑ binuralka:
Ahoj, k druhému príkladu. Skús ukázať, že $s_{n}=\frac{n}{n+1}$ . Potom bude už ľahké vypočítať príslušnú limitu...

zdenek1 · 27. 09. 2014 21:47

↑ binuralka:
1: Pro každé tři po sobě jdoucí členy GP platí $a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2$
Pak pro $a_1=1$ , $a_3=a$ bude $a_2^2=a$
a to by ti mělo stačit

binuralka

Arabela napsal(a):
↑ binuralka:
Ahoj, k druhému príkladu. Skús ukázať, že $s_{n}=\frac{n}{n+1}$ . Potom bude už ľahké vypočítať príslušnú limitu...

Proc jsi pouzila prave tento vzorecek? Pokud budu chtit spocitat posloupnost částečných součtů o dvou clenech (a1 + a2) podle tveho vzorecku, tak mi vyjde 2/3, ale pokud si opravdu sectes a1, a2..tak dostanes = 4/3

Arabela · 27. 09. 2014 22:07

↑ binuralka:
nie je každý z členov $\frac{1}{n(n+1)}$ ?

zdenek1 · 27. 09. 2014 22:09

↑ binuralka:
Zkus použít identitu $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

binuralka · 27. 09. 2014 22:29

nevím jak postupovat... co si přečíst, nastudovat?

zde, je přesné zadání: https://www.dropbox.com/s/9dlr4bssnwqhr … 222611.jpg

Arabela · 27. 09. 2014 22:34

↑ binuralka:áno, takže ten druhý príklad je tak, ako som ho pochopila...
Postupnosť čiastočných súčtov teda je
$s_{1}=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}$
$s_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$s_{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$
atď. ...

binuralka · 27. 09. 2014 22:40

↑ Arabela:

ano, pardon, dopustil jsem se hloupe pocetni chyby. jak jsi prisla, jaky je postup? na Sn= n/(n+1) ?

Arabela · 27. 09. 2014 22:51

↑ binuralka:spomenula som si, ako nám to kedysi ukázali v škole - bol v tom taký trik... Kolega zdenek1 ho už vlastne naznačil... V tom nekonečnom súčte si každý člen rozpíšeme ako onen rozdiel, takže dostaneme
$s_{n}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$ .
Teraz si všimneme, že počnć druhým členom sa vždy dva susedné členy rušia... vidíš to?

binuralka · 27. 09. 2014 22:57

↑ Arabela:

ano, vidim...

Sn = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/4... -1/n

a dal... jak dostaneme tu formu n/(n+1)

Arabela

↑ binuralka:pozor,
$s_{n}=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-...-1/n+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)$

binuralka · 27. 09. 2014 23:11

dekuji za trpelivost :) limita Sn je teda = 1...( nebot ji nikdy nedosahne )

Arabela · 27. 09. 2014 23:13

↑ binuralka:áno, je to tak... inak, $1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

Matematické Fórum

#1 27. 09. 2014 21:30 — Editoval binuralka (27. 09. 2014 21:39)

řady

#2 27. 09. 2014 21:44 — Editoval Arabela (27. 09. 2014 21:46)

Re: řady

#3 27. 09. 2014 21:47

Re: řady

#4 27. 09. 2014 22:01 — Editoval binuralka (27. 09. 2014 22:02)

Re: řady

Arabela napsal(a):

#5 27. 09. 2014 22:07

Re: řady

#6 27. 09. 2014 22:09

Re: řady

#7 27. 09. 2014 22:29

Re: řady

#8 27. 09. 2014 22:34

Re: řady

#9 27. 09. 2014 22:40

Re: řady

#10 27. 09. 2014 22:51

Re: řady

#11 27. 09. 2014 22:57

Re: řady

#12 27. 09. 2014 23:02 — Editoval Arabela (27. 09. 2014 23:05)

Re: řady

#13 27. 09. 2014 23:11

Re: řady

#14 27. 09. 2014 23:13

Re: řady

Zápatí