Matematické Fórum

Andyca · 28. 09. 2014 13:40 — Editoval Andyca (28. 09. 2014 13:43)

Dobrý den, mohli byste mi napsat jak matematickou indukcí dokázat následující příklad? Jedná se o lehčí příklad, jen potřebuji s ním trochu popostrčit, abych v tom neplavala hned od začátku. Děkuji moc.
$\sum_{i=0}^{n} (2i+1)=(n+1)^{2}$

Vím že první krok je zkusit zda n=1 .. to znamená že i za i mám dosadit 1? Nerozumím tomu.

byk7 · 28. 09. 2014 13:59

1) Máš ověřit, jestli tvrzení platí pro $n=1$ , tj dostáváme, že $\sum\nolimits_{i=0}^1(2i+1)=(2\cdot0+1)+(2\cdot1+1)=4=(1+1)^2$ , takže tvrzení platí.

2) Předpokládejme, že zadaná rovnost platí pro nějaké $n=k$ , tj.
$\sum_{i=0}^k 2i+1=(k+1)^2$ ,

3) a spočítejme součet pro $n=k+1$
$\sum_{i=0}^{k+1}2i+1=\big(2(k+1)+1\big)+\sum_{i=0}^k2i+1=\cdots$
z indukčního předpokladu víme, čemu se ta suma (s horní mezí $k$ ) rovná, tj.
$\cdots=\big(2(k+1)+1\big)+(k+1)^2=\cdots$
a upravme
$\cdots=(2k+3)+$k^2+2k+1$=k^2+4k+4=(k+2)^2=\big((k+1)+1\big)^2$
což je ale to, k čemu jsme chtěli dospět,
takže zadaná identita platí.