Matematické Fórum

1bildo2 · 27. 09. 2014 16:14

kto by vedel ako na to:
Určte elektrický potenciál a intenzitu elektrického poľa E bodového elektrického náboja Q vo vákuu, ktorý je vo vzdialenosti a od nekonečne rozsiahleho rovinného povrchu vodiča s nulovým potenciálom. Dokážte, že celkový elektrický náboj indukovaný na rovinnom povrchu vodiča je –Q. Vypočítajte silu, ktorou je elektrický náboj Q priťahovaný k rovinnému povrchu vodiča.

Brzls · 30. 09. 2014 18:38

Čau

S velikostí indukovaného náboje ti sice neporadím, ale co se týče velikosti síly, tak nevidím problém.

Potenciál je určen laplaceovou rovnicí, jejíž řešení je jednozančné (hrubě hřečeno, pokud ti to nic neřiká je třeba prostudovat teorii)

Tedy stačí najít jakékoli pole, které jejíž ekvipotenciální plocha tvoří rovinu. Takové pole je ale například pole tvořené dvěmi bodovými náboji (opačné znaménka, souměrnost podle dané rovniy)

Tedy síla, kteorou je náboj přitahován není nic jiného než Coulumbův zákon

$F=k\frac{Q^{2}}{4a^{2}}$

Z toho co jsem řekl by neměl být problém určit potenciál či intenzitu

darkorbit

Čaute,

je to len nápad a nie je elegantný, ale na základe symetrie úlohy sa dá zaviesť rozloženie plošnej hustoty náboja na rovine tak, že bude predstavovať sústredné kružnice okolo stredu presne pod nábojom. V tomto bode musí byť nulový potenciál ako na celej rovine.
V strede rovnomerne nabitého prsteňa je potenciál rovný $\varphi =\frac{1}{4\pi \varepsilon }\frac{Q}{r}$ , kde "r" je polomer prstenca a "Q" je celkový náboj na prstenci.

Potenciály sa sčítavajú, teda rovine si narobím takéto prstence - medzikružia s nábojom
$dq=2\pi x\sigma (x)dx$
kde $\sigma (x)$ je nábojová plošná hustota. Potom mám pre potenciál v mieste pod nábojom
$\varphi =-\frac{1}{4\pi \varepsilon }\frac{Q}{a}-\int_{0}^{\infty }\frac{1}{4\pi \varepsilon }\frac{dq}{x}=0V$
Prvý člen je prírastok od náboja a druhý prírastok od náboja na celej ploche. Dosadím vyjadrenie pre element náboja a po úprave mám
$-\frac{Q}{2\pi a}=\int_{0}^{\infty }\sigma (x)dx$
Bude rozumné hľadať riešenie pre rozloženie hustoty v tvare $\sigma (x)=-Qf(x)$ , čo po dosadení dá
$\int_{0}^{\infty }f(x)dx=\frac{1}{2\pi a}$

Teraz neviem dokázať, že tomuto integrálu vyhovuje jediná fcia, ale od oka (v tabuľkách) sa dá nájsť riešenie v tvare $f(x)=\frac{a}{2\pi (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}$ .

Celkový náboj na ploche je
$q=\int_{plocha}^{}\sigma dS=\int_{0}^{\infty }2\pi x\sigma (x)dx=\int_{0}^{\infty }2\pi x(-Q)\frac{a}{2\pi (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}dx=-Q$

Snáď som to nezkazil pri ťukaní do klávesnice, ale myšlienka by mala byť zrejmá.

Xellos · 01. 10. 2014 07:14

Myslim ze ulohu sa oplati presunut do zaujimavych. Riesenie: metoda zrkadleni, link 1 link 2.

Equivalence theorem: ak v nejakej casti priestoru nie su ziadne naboje a na kazdej suvislej ploche ktora ju ohranicuje pozname bud celkovy naboj (resp. tok el. pola, vid Gaussov zakon; tiez to znamena ze bodove naboje vieme povazovat za nekonecne male plochy) alebo hodnotu konst. potencialu, potom je vnutri tejto oblasti jednoznacne dane el. pole.

Tym padom ked vymyslime situaciu ktora tieto podmienky zachova, vieme ze el. pole bude rovnake. Tu mame len podmienku ze potencial na ploche je konstantny, co plati aj pre 2 naboje +Q a -Q zrkadlovo od (uz nevodivej) roviny. Ich pole sa uz lahko dorata.

Plati ze celkovy naboj na rovine je rovnaky v oboch pripadoch, je to priamy dosledok Gaussovho zakona.

Matematické Fórum

#1 27. 09. 2014 16:14

potencial intenzita sila HELP

#2 30. 09. 2014 18:38

Re: potencial intenzita sila HELP

#3 30. 09. 2014 21:10 — Editoval darkorbit (30. 09. 2014 21:12)

Re: potencial intenzita sila HELP

#4 01. 10. 2014 07:14

Re: potencial intenzita sila HELP

Zápatí