Matematické Fórum

byk7 · 30. 09. 2014 17:57

Zdravím,

jaký předpis by měla posloupnost $\{a_n\}$ tak, aby obsahovala každé racionální číslo právě jednou?
(Nejlíp ještě, kdyby byla nějak rozumně seřazená, ale to není nutné.)

vanok · 30. 09. 2014 18:30

Ahoj ↑ byk7:,
Jedna metoda: ako prve skus dokazat ze $\mathbb{N}X\mathbb{N}$ je spocetna nekonecna mnozina. ( cize ma tolko prvkov ako $\mathbb{N}$ )

byk7 · 30. 09. 2014 21:40

no, asi bych sestrojil bijekci "tabulkou"

1 2 3 4 5 6 ...
(1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) ...

(ty uspořádané dvojice jsou seřazeny podle součtu a pak podle prvního prvku)

vanok · 30. 09. 2014 22:03

Druha etapa $\mathbb{Z}X \mathbb{N}$ je spocitatelne

byk7 · 30. 09. 2014 22:12 — Editoval byk7 (30. 09. 2014 22:14)

Podobně, jen tam nastrkám členy s opačným znaménkem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...
(0,1) (1,1) (-1,1) (1,2) (-1,2) (2,1) (-2,1) (1,3) (-1,3) (2,2) (-2,2) (3,1) (-3,1) ...

chápu, kam tím míříme, teď máme bijekci $\mathbb N\leftrightarrow\mathbb Z\times\mathbb N$ ,
a teď to chce jen nějak upravit, abychom dostali bijekci $\mathbb N\leftrightarrow\mathbb Q$ ,
ale jak, to nevím

vanok · 30. 09. 2014 22:22

Kazde racionalne cislo sa pise p/q p,q nesudelitelne.
p cele
q nenulove prirodzene.

Tu bijekciu je mozne popisat, ale to netreba k dokazu.

OiBobik · 30. 09. 2014 22:39

↑ byk7:

Asi to nebude přesně to, co hledáš (nebo čekáš), každopádně tady ty situace, kdy máš dvě injekce a chceš z nich vytřískat bijekci, řeší důkaz Cantor-Bernsteinovy věty (který je konstruktivní, takže z něj tu bijekci skutečně dostaneš).

byk7 · 30. 09. 2014 22:47

Tak jsem našel Calkin-Wilf tree a mírnou modifikací dostal takovou posloupnost

$q_0&=0 \\ q_1&=1 \\ q_{2i}&=-q_{2i-1} \\ q_{2i+1}&=\frac{1}{2\lfloor q_{2i-1}\rfloor-q_{2i-1}+1}$

jen prosím o kontrolu, jestli mi to dá opravdu všechna racionální čísla.

vanok · 30. 09. 2014 23:05

↑ byk7:
Pozri aj tu
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Cantor_pairing_function

byk7 · 30. 09. 2014 23:06

To sem viděl a nepochytil :)

vanok · 30. 09. 2014 23:35

To je bijekcia, lebo ma inverznu aplikaciu.

Brano · 01. 10. 2014 09:22 — Editoval Brano (01. 10. 2014 09:23)

podla mna sa bijekcia vyrobi najjednoduchsie pomocou retazovych zlomkov pretoze kazde racionalne cislo sa da napisat ako prave dva konecne retazove zlomky

staci si rozmysliet ako zoradovoat konecne postupnosti prirodzenych cisel

vanok · 01. 10. 2014 09:44

↑ byk7:
Tu je zhrnuta metoda
http://books.google.fr/books?id=jTBNAAA … mp;f=false
na ktorej sme pracovali.
Pochopitelne je viacej metod a stoji to za to ich prehlbit.

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2014 17:57

Posloupnost racionálních čísel

#2 30. 09. 2014 18:30

Re: Posloupnost racionálních čísel

#3 30. 09. 2014 21:40

Re: Posloupnost racionálních čísel

#4 30. 09. 2014 22:03

Re: Posloupnost racionálních čísel

#5 30. 09. 2014 22:12 — Editoval byk7 (30. 09. 2014 22:14)

Re: Posloupnost racionálních čísel

#6 30. 09. 2014 22:22

Re: Posloupnost racionálních čísel

#7 30. 09. 2014 22:39

Re: Posloupnost racionálních čísel

#8 30. 09. 2014 22:47

Re: Posloupnost racionálních čísel

#9 30. 09. 2014 23:05

Re: Posloupnost racionálních čísel

#10 30. 09. 2014 23:06

Re: Posloupnost racionálních čísel

#11 30. 09. 2014 23:35

Re: Posloupnost racionálních čísel

#12 01. 10. 2014 09:22 — Editoval Brano (01. 10. 2014 09:23)

Re: Posloupnost racionálních čísel

#13 01. 10. 2014 09:44

Re: Posloupnost racionálních čísel

Zápatí