Matematické Fórum

s-o-k-o-l · 01. 10. 2014 17:16

Dobrý den,
koukám na důkaz: Dokažte, že pro $\forall \triangle ABC:sin^{2}\gamma >sin^{2}\alpha +sin^{2}\beta \Rightarrow \gamma >\frac{\pi }{2}$

Mohl bych poprosit o nápovědu, protože vůbec netuším ani z obrázku, co s tím udělat.

Děkuju moc za radu :)

Bati · 01. 10. 2014 18:55 — Editoval Bati (01. 10. 2014 19:14)

Ahoj,
nejprve nahraď $\gamma=\pi-\alpha-\beta$ a pak ukaž, že nerovnost
(1) $\sin^2{\gamma}>\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}$ je ekvivalentní nerovnosti
(2) $\cos(\alpha+\beta)>0$ ,
ze které už ihned plyne, že $\alpha+\beta\in(0,\tfrac{\pi}2)$ , a tedy nutně $\gamma>\tfrac{\pi}2$ .
Abys ukázal (1) <=> (2), budou třeba nějaké součtové vzorce, $\sin^2+\cos^2\equiv1$ a také vlastnosti sinu pro dané úhly.

Jiná možnost, která nepotřebuje žádné goniometrické identity by bylo dokázat, že pro $\gamma\in(0,\tfrac{\pi}2)$ je $\sin^2{\gamma}\leq\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}$ . To se po několika úvahách o monotonii sinu dá redukovat na jednoduché ověření předchozí nerovnosti pro $\gamma=\tfrac{\pi}2$ .

Matematické Fórum

#1 01. 10. 2014 17:16

Důkaz, že pro všechny trojúhelníky platí...

#2 01. 10. 2014 18:55 — Editoval Bati (01. 10. 2014 19:14)

Re: Důkaz, že pro všechny trojúhelníky platí...

Zápatí