Matematické Fórum

kucape · 03. 10. 2014 19:56

Zdravím,
nejsem si jistý jestli mám správný postup a jak zapsat výsledek?

Mám zadání:

Vypočtěte $\sqrt[3]{z}$

$z = \frac{(2+3i)^{2}}{1-i}*i^{5}+\frac{i^{4}-3i^{5}-3i^{2}}{i^{3}+1}$

Po úpravě mi vyšlo:
$z= \frac{-8(i+1)}{1-i }$
$z= -8i$

Převod do algebraického tvaru:

$|z|=\sqrt{0^{2}+(-8)^{2}} = 8$

$\cos \varphi = 0$
$\varphi = \frac{3}{2}\pi$

$\sin \varphi = -\frac{8}{8}=-1$
$\varphi =\frac{3}{2}\pi$

$z=\sqrt[3]{8(cos(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ) +i*sin(\frac{3\pi }{2}+2k\pi) }$
$k = 0,1,2$

$z = \sqrt[3]{8}(cos(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ) +i*sin(\frac{3\pi }{2}+2k\pi))^{\frac{1}{3}}$

Výsledek:
$z_{0}=2*(cos\frac{\pi }{2}+i*sin\frac{\pi }{2})=2i$
$z_{1}=2*(cos\frac{5\pi }{2}+i*sin\frac{5\pi }{2})=2i$
$z_{2}=2*(cos\frac{9\pi }{2}+i*sin\frac{9\pi }{2})=2i$

Mám psát do výsledků to $= 2i$ nebo stačí jenom ten algebraický tvar?
Předem děkuji.

zdenek1 · 03. 10. 2014 20:15

↑ kucape:
chyba je tady
$z = \sqrt[3]{8}(cos(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ) +i*sin(\frac{3\pi }{2}+2k\pi))^{\frac{1}{3}}$

správně
$\sqrt[3]{8}(\cos(\frac{\frac{3\pi}2+2k\pi }{3} ) +i\cdot\sin(\frac{\frac{3\pi}2+2k\pi }{3})$

kucape · 03. 10. 2014 20:30 — Editoval kucape (03. 10. 2014 21:50)

↑ zdenek1:
aha
Takže pokud jsem to upravil dobře, tak

$z = \sqrt[3]{8}(\cos({\frac{3\pi+4k\pi }6} ) +i\cdot\sin({\frac{3\pi+4k\pi }6} )$

$z_{0}=2*(cos\frac{\pi }{2} +i*sin\frac{\pi }{2})=2*(-\frac{1}{2}+i*1)$
$z_{1}=2*(cos\frac{7\pi }{6}+i*sin\frac{7\pi }{6})=2*(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$
$z_{2}=2*(cos\frac{11\pi }{6}+i*sin\frac{11\pi }{6}))=2*(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$

Takhle je to už správně?

----------------------------
Edit: úprava výsledků
Edit 2: úprava z0