Matematické Fórum

Paulo · 04. 10. 2014 14:24

Ahoj, potřeboval bych dokázat větu která říká že iracionálních čísel je více než racionálních a nevím jak na to, budu rád za každou pomoc.

jarrro · 04. 10. 2014 15:08

stačí dokázať, že racionálnych je spočítateľne veľa a reálnych nespočítateľne potom musí byť aj iracionálnych nespočítateľne lebo reálne sú zjednotením racionálnych a iracionálnych a zjednotenie dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina

Paulo · 04. 10. 2014 15:32

jarrro napsal(a):
stačí dokázať, že racionálnych je spočítateľne veľa a reálnych nespočítateľne potom musí byť aj iracionálnych nespočítateľne lebo reálne sú zjednotením racionálnych a iracionálnych a zjednotenie dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina

Děkuji za odpověď, mám dokázáno že racionálních je spočetně mnoho a u reálných že je nespočetně mnoho na intervalu (0;1) což vlastně znamená že jich je obecně nespočetně že. Jen moc nechápu k čemu zde použiji že sjednocení dvou spočetných množin je spočetná množina, když reálných i iracionálních je nespočetně mnoho.

radekm · 04. 10. 2014 16:39

Jen moc nechápu k čemu zde použiji že sjednocení dvou spočetných množin je spočetná množina, když reálných i iracionálních je nespočetně mnoho.

Použije se to v důkazu sporem - pro spor se bude předpokládat, že iracionálních je spočetně mnoho.

Paulo · 04. 10. 2014 17:31

Děkuji, mohl bych někoho požádat aby konkrétně naznačil jak bude takový důkaz vypadat?

Eratosthenes

ahoj ↑ Paulo:,

ten důkaz pochází od Cantora a v soutěži o nejkrásnější důkaz - něco jako

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=34922

by se podle mě umístil hodně vysoko.

Ví se, že Q je spočetná a R=QUQ', kde Q' je množina všech iracionálních. Dokážme-li tedy, že R je nespočetná, je jasné, že tu nespočetnost "má na svědomí" množina Q'. Dokažme, že interval <0;1> je nespočetný (pak je zřejmě nespočetná i R) a dokažme to sporem.

Předpokládejme, že interval je spočetný. Z toho plyne, že všechna čísla z tohoto intervalu lze seřadit do zástupu a očíslovat je přirozenými čísly. Takže:

$1)\ 0,a_1a_2a_3a_4....$ je první reálné číslo.
$2)\ 0,b_1b_2b_3b_4....$ je druhé reálné číslo.
$3)\ 0,c_1c_2c_3c_4....$ je třetí reálné číslo.
..........
atd.

$a_1,a_2,..,c_4,...$ jsou cifry v (dejme tomu) desetinném zápisu každého čísla.

V tomto seznamu tedy máme všechna čísla z <0;1>. Fajn. A teď si vezmeme číslo, které má na prvním des. místě cifru různou od a_1. Existuje? Samozřejmě - a_1 je jedna z deseti možných cifer, takže na výběr jiné máme dokonce devět možností. Na druhém desetinném místě bude mít cifru různou od b_2. Existuje takové číslo? Samozřejmě - na výběr je opět devět možností. Na třetím místě bude cifra různá od c_3. Lze to? samozřejmě... atd.

Sestavili jsme tedy číslo, které se od čísla na prvním místě našeho seznamu liší v prvním desetinném místě a není tedy na prvním místě. Není ani na druhém, protože od druhého čísla se liší na druhém des. místě. Není ani na třetím místě, atd - toto číslo není v seznamu nikde.

To je ale spor s předpokladem, že v seznamu jsou všechna....

Paulo · 04. 10. 2014 18:41

↑ Eratosthenes:

Děkuji za odpověď, tento důkaz nespočetnosti reálných čísel už mám, mám i dokázáno že racionální čísla jsou spočetná. Mohu tedy formálně zapsat důkaz věty že iracionální čísla jsou nespočetná, jako důsledek toho že množina $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'}$ vzhledem k vlastnostem množin $\mathbb{R}$ a $\mathbb{Q}$ ?

Jozef3 · 04. 10. 2014 18:54

↑ Paulo:
Ano, můžete. Jak jste již řekl, sjednocení spočetných množin je opět spočetná množina, takže $\mathbb{Q}^{c}$ musí být nutně nespočetná.

jarrro · 05. 10. 2014 08:44

ak už máš dokázané alebo môžeš bez dôkazu využiť spočítateľnosť racionálnych a nespočítateľnosť reálnych tak nespočítateľnosť iracionálnych z toho priamo vyplýva lebo keby bolo iracionálnych len spočítateľne tak aj reálnych by muselo byť len spočítateľne keďže sú zjednotením racionálnych (tých je spočítateľne) a iracionálnych (o tých pre spor predpokladáš že ich je tiež spočítateľne). vo všeobecnosti ak máš
$A=B\cup C$ a ukážeš, že A je nespočítateľná, B je spočítateľná tak automaticky máš dokázané aj tvrdenie, že C je nepočítateľná

Paulo · 05. 10. 2014 12:00

děkuji všem za pomoc

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2014 14:24

Iracionálních čísel je více než racionálních

#2 04. 10. 2014 15:08

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

#3 04. 10. 2014 15:32

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

jarrro napsal(a):

#4 04. 10. 2014 16:39

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

#5 04. 10. 2014 17:31

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

#6 04. 10. 2014 18:17 — Editoval Eratosthenes (04. 10. 2014 18:19)

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

#7 04. 10. 2014 18:41

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

#8 04. 10. 2014 18:54

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

#9 05. 10. 2014 08:44

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

#10 05. 10. 2014 12:00

Re: Iracionálních čísel je více než racionálních

Zápatí