Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 29. 09. 2014 21:49
Kmity v kruhovom bazéne
Zdravím,
pretože sa na internáte (zatiaľ ) nudím, vymyslel som si problém na riešenie a so záujemcami sa oň podelím.
Na každom dobrom kúpalisku majú takú kruhovú vec, v ktorej sa dá voda rozkmitať skákaním. Zaujíma ma rezonančná frekvencia. Predstavte si teda malé kmity v bazéne s ideálnou vodou (nulové trenie na stenách a nulová viskozita) a nájdite frekvenciu týchto kmitov.
Výška vody v bazéne v pokoji je 
a polomer bazéna je 
, gravitačné (ďalšie priblíženie) zrýchlenie je 
.
V priebehu týždňa sem hodím svoje riešenie.
Offline
#3 30. 09. 2014 12:16
Re: Kmity v kruhovom bazéne
↑ Xellos:
Ospravedlňujem sa, predpokladal som, že také veci majú všade, keď už to majú aj na našom kúpalisku.
V takom bazéne si ešte nebol? Určite choď, je to tam cool, ale k veci. Proti sebe sa postavia napr. 2 ľudia. Jeden vyskočí a druhý sa prikrčí, potom si to otočia... Teda skáču s fázovým posunom 
, čím rozpohybujú vodu a tá ich v priebehu deja dostane vyššie a vyššie (pretože sa pohybuje spolu s nimi)... Samozrejme, že vody neubúda ani sa neukáže dno, pretože ohrádka je dosť vysoká a vody je dosť. No a aby sa dostali čo najvyššie, bude vhodné skákať s frekvenciou blízkou vlastnej frekvencii kmitov vody v bazéne.
Skúšal som obrázok googliť, ale k ničomu ma to neviedlo. Snáď už je to jasné.
Nakoniec už len dodám, že riešenie na kontrolu nemám, len svoje, a teda k úlohe s určitosťou neviem povedať, či má "kmitavé" riešenie, každopádne, ja som v tom bazéne kmital.
Offline
#4 30. 09. 2014 13:06
Re: Kmity v kruhovom bazéne
↑ darkorbit:
Dobrý den. Nejedná se náhodou o tzv. "houpací bazén" ? Odkaz
Pokud se tedy nemýlím.
Offline
#5 30. 09. 2014 14:06
Re: Kmity v kruhovom bazéne
↑ darkorbit: Ahoj, o vodných vlnách si prečítaš dobre aj tu
https://www.vutbr.cz/www_base/zav_prace … e_id=67437
http://web.mit.edu/2.016/www/handouts/F … -Waves.pdf
Offline
#6 30. 09. 2014 15:11 — Editoval darkorbit (30. 09. 2014 15:13)
Re: Kmity v kruhovom bazéne
Zdravím,
↑ Jj:, takže takto sa to nazýva :D, ďakujem.
↑ pietro:, ďakujem za odkazy, ale počas pozorovania deja som vlny nezachytil, skôr to modelujem, ako pohyb určitej časti vody ako celku, pričom pre malé kmity predpokladám, že rovná hladina sa nakláňa, pričom zostáva rovná (neprehne sa) - toto by nemusela byť zlá aproximácia pre malé kmity/veľký bazén. Na tento výpočet je podľa mňa v odkazoch použitá príliš vysoká matematika/fyzika.
Offline
#7 01. 10. 2014 17:38
Re: Kmity v kruhovom bazéne
Takže som sa dostal ku koncu, dokonca som si to pred spaním aj skontroloval a vychytal chyby, už len, aby mi to prešiel niekto iný (ak sa niekomu chce), samozrejme, že mi ide len o zbežný prechod cez hlavné myšlienky, aby som vedel, či som niečo neaplikoval nesprávne.
to, čo zostalo z priemeru, teda platí 
. Teraz zavediem súradnicovú sústavu so stredom v strede kruhu, z ktorého to sekám, pričom súradnicu kolmú na rez označím 
. Plochu určím integrálom 
.![$S(x)=R^{2}[\frac{\pi }{2}-(1-\frac{x}{R})\sqrt{1-(1-\frac{x}{R})^{2}}-\arcsin(1-\frac{x}{R}) ]$](/mathtex/20/206ed93839c506056570d13e1ea89140.gif "kopírovat do textarea")
![$b_{T}=\frac{2R^{3}}{3S(x)}[1-(1-\frac{x}{R})^{2}]^{\frac{3}{2}}$](/mathtex/7b/7b76b9756083e515505a4617c20184d4.gif "kopírovat do textarea")
. Ak označím naklonenie hladiny voči vodorovnému smeru 
, zrejme platí 
, 
. ![$[x_{T},y_{T}]$](/mathtex/c6/c65d1d12bbfcd63b0fd9b3cc1435a775.gif "kopírovat do textarea")
. Viem, že platí![$mx_{T}=\int_{celykus}^{}b_{T}dm=\int_{celykus}^{}\frac{2R^{3}}{3S(x)}[1-(1-\frac{x}{R})^{2}]^{\frac{3}{2}}\varrho S(x)dy=\int_{2R}^{0}\frac{2R^{3}}{3}[1-(1-\frac{x}{R})^{2}]^{\frac{3}{2}}\varrho (-\text{tg}\alpha )dx$](/mathtex/8f/8f58712d28711be4f7a1b3d1152a59c5.gif "kopírovat do textarea")
získam úplne analogicky, už to nejdem vypisovať, kalkulačka dala
voči zemi). Hmotnosť vody v bazéne je 
. Hmotnosť vody v tom rezanom objekte je polovica hmotnosti vody vo valci s výškou maximálnej súradnice 
- 
. Hmotnosť vody vo valci, ktorý zostal je zrejme 
. Zo zachovanie hmotnosti vody mám vzťah 
. 
a teda 
. Aby som zistil rýchlosť, zderivujem súradnice ťažiska podľa času:
a pre periódu mám 
.Offline
#8 04. 10. 2014 17:33
Re: Kmity v kruhovom bazéne
↑ darkorbit:
Čau
Já se do řešení nepouštěl, neboť jsem vůbec netušil co s tou kinetickou energií - vážně lze uvažovat jenom pohyb těžiště? Nemusí tam být ještě nějaký další člen, který zohledňuje že to je kapalina, tedy že se každá část pohybuje jinak? (resp započítat něco na způsob momentu setrvačnosti u tuhého tělesa nebo tak něco)
Co přesně nás vede k tomu, že je možno tento člen s dostatečnou přesností zanedbat?
Offline
#9 04. 10. 2014 19:22
Re: Kmity v kruhovom bazéne
Ahoj ↑ Brzls:,
vieš, že neviem? Preto som sa obrátil na toto fórum, že sa hádam nájde niekto, kto sa s takým niečím už stretol. Raz som podobné voodoo videl počítané niekým z VŠ a počítal to odobne, ibaže to mal v obdĺžnikovom jazere 
x
.
Samozrejme na leto chystám sériu experimentov, tam sa ukáže :D.
Offline