Matematické Fórum

Hypno · 04. 10. 2014 21:21

Ahoj,
může mi prosím někdo říct, kde dělám chybu nebo mě navést aspoň správným směrem?
Děkuji
Zadání: Matematickou indukcí dokažte, že pro každé $n\in \mathbb{N}$ platí:
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}$
První krok pro n = 1 je jasný. Problém mám ve druhém kroku pro n+1. Snažím se dokázat
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}$
Nahradím sumu
$\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$
sečtu
$\frac{n\cdot (2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}$
a tady už nevím, jak to upravit na $\frac{n+1}{2n+3}$ aby to vyšlo.
Nebo jsem to celé špatně pochopil a píšu nesmysly.

tatiana · 04. 10. 2014 21:29

↑ Hypno:
čitateľa si upraviš $2n^2+3n+1$ a ten sa dá upraviť na tvar (2n+1)(n+1) a už je to snáď jasné :)

Xellos · 04. 10. 2014 22:17

Pripadne si mozes vsimnut ze

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{2(2k+1)}$

co ti vyjadri povodnu sumu ako

$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n{\frac{1}{2k-1}}-\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n+1}{\frac{1}{2k-1}}$

kde sa vsetky cleny okrem $\frac{1}{2}$ a $-\frac{1}{2(2n+1)}$ vybiju.

Hypno · 05. 10. 2014 00:07

Děkuju :)

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2014 21:21

Matematická indukce

#2 04. 10. 2014 21:29

Re: Matematická indukce

#3 04. 10. 2014 22:17

Re: Matematická indukce

#4 05. 10. 2014 00:07

Re: Matematická indukce

Zápatí