Matematické Fórum

Lunus · 05. 10. 2014 13:10

Běžnou matematickou indukci ovládám, ale u této jsem se zasekl. Dokáži (alespoň si to myslím) přepsat sumu do součtu, ale už nevím, jak poté pokračovat. Už jsem toho vyzkoušel spoustu, ale vždy mi tam něco přebývá... v nejvíce možnostech 1/b. Mohli byste poradit?

$a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k-1}$

Děkuji

BakyX · 05. 10. 2014 13:43

$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^n-b^n)-ab(a^{n-1}-b^{n-1})$

Freedy · 05. 10. 2014 13:45

Ahoj,

pokud předpokládáš že to platí, můžeš to ve svém příkladu použít a pracovat s tím jako se správnou úpravou.

1) krok, otestujeme, zda daná rovnost platí pro n = 1
$a^1-b^1=(a-b)a^0b^0$ platí

nyní položíme n = r
$a^r-b^r=(a-b)\sum_{k=0}^{r-1}a^kb^{r-k-1}$
pokud platí pro n = r, potom platí i pro n = r+1
$a^{r+1}-b^{r+1}=(a-b)\sum_{k=0}^{r}a^kb^{r-k}$

Zde využijeme toho, co dokazujeme. Obecně platí:
$a^{r+1}-b^{r+1}=(a-b)(a^r+a^{r-1}b...ab^{r-1}+b^r)$

Proto když levou stranu nahradíme tímto dostáváme:
$(a-b)(a^r+a^{r-1}b...ab^{r-1}+b^r)=(a-b)\sum_{k=0}^{r}a^kb^{r-k}$
za předpokladu a se nerovná b vydělíme celou rovnici výrazem (a-b)
$a^r+a^{r-1}b...ab^{r-1}+b^r=\sum_{k=0}^{r}a^kb^{r-k}$
Což je jen rozepsání sumy. Pokud platí pro n = r, platí i pro n = r+1. Pokud platí pro n = 1, platí pro všechna n z N

Lunus · 05. 10. 2014 15:34

↑ Freedy:

No, nechápu ten Tvůj krok mezi třetím a čtvrtým obrázkem, pokud máme dosazovat za k od 0 do r, jak je možné, že hned u prvního členu a je v exponentu r?
Možná jsem měl hned na začátku specifikovat, že umím matematické indukce bez využití sum, s těmi jsme se neučili nijak zvláště počítat...

Děkuji

Freedy · 05. 10. 2014 15:40 — Editoval Freedy (05. 10. 2014 15:41)

Ahoj,

zde se se sumama ale vůbec nepracuje. A taky bych předpokládal, že jsi jiste už někdy slyšel o tom, že sčítání je komutativní, proto je úplně jedno, jestli tu sumu napíšeš pozpátku, součet bude vždy stejný.

A z 3 řádku na 4 se nijak nedostává. Pouze sem ukázal, jak lze také napsat levá strana rovnice. Pokud bych chtěl, nemusel sem to tam psát vůbec a pokračovat rovnou na 5 řádek, ale to by bylo trošku nepřehledné.

Lunus · 05. 10. 2014 15:42

Je takto ta suma v zadání rozepsána dobře?

$a^{0}b^{n-1}+a^{1}b^{n-2}+...+a^{n-1}b^{0}$

Pokud ne, kde dělám v tom rozepisování chybu? S těmi sumami jsem vážně na začátcích.

Děkuji

Lunus · 05. 10. 2014 15:46

↑ Freedy:

Ano slyšel jsem o tom... mě jde ale o to, že tu SUMU raději budu mít rozepsanou s pár tečkami. Zatím mi nevadí psát... jedno třeba budu línější a budu to také zkracovat, až tomu více a lépe porozumím...

Děkuji za odpovědi, opravdu.

Freedy · 05. 10. 2014 15:47

Ano, skutečně:
$a^0b^{n-1}+a^1b^{n-2}+...+a^{n-1}b^0=\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{(n-1)-k}$

Lunus · 05. 10. 2014 15:53

↑ Freedy:

Tak skvěle! A pokud teď už od této chvíle nechci sumu v tom příkladu ani vidět, tak jak poté k této konečné řadě připočtu další člen?

$a^{0}b^{n-1}+a^{1}b^{n-2}+...+a^{n-1}b^{0}+ a^{n}b^{-1}$ ... zde už nevím.. tady mám myslím chybu... protože s tímto mi to nevychází...

Freedy · 05. 10. 2014 16:36

Kam chceš připočítávat další člen? Ten součet napravo bude vypadat úplně jinak po dosazení r+1 místo r. Není to jen o tom že by se přidal jeden člen. Můžeš vyzkoušet rovněž to co psal ↑ BakyX: akorát, než začneš, si oprav jeho špatné vyjádření.

Matematické Fórum

#1 05. 10. 2014 13:10

Matematická indukce

#2 05. 10. 2014 13:43

Re: Matematická indukce

#3 05. 10. 2014 13:45

Re: Matematická indukce

#4 05. 10. 2014 15:34

Re: Matematická indukce

#5 05. 10. 2014 15:40 — Editoval Freedy (05. 10. 2014 15:41)

Re: Matematická indukce

#6 05. 10. 2014 15:42

Re: Matematická indukce

#7 05. 10. 2014 15:46

Re: Matematická indukce

#8 05. 10. 2014 15:47

Re: Matematická indukce

#9 05. 10. 2014 15:53

Re: Matematická indukce

#10 05. 10. 2014 16:36

Re: Matematická indukce

Zápatí