Matematické Fórum

ajucha · 06. 10. 2014 17:22

Potřebovala bych poradit s příkladem:
Najděte součet prvních 1995 členů posloupnosti 1, 11, 111, 1111, .....
jak mám postupovat? ví, z toho jen to, že a_(n+1)=a_n + 10^n
poradíte mi prosím někdo?

v učebnici mám napsáno, že a_n=1/9*(10^n-1) - k tomu dojdu jak?
a ten součet tam je napsany jako 1/9*(10*(10^1995 -1)/(10 -1)-1995) to je přmo vzorec pro součet? jak ten vzorec zní?
děkuji mnohokrát

byk7 · 06. 10. 2014 17:47

No, rozmysli si, proč platí
$\underbrace{99\ldots9}_{k}=10^k-1$
a pak popřemýšlej, jak z
$\underbrace{99\ldots9}_{k}$
udělat
$\underbrace{11\ldots1}_{k}$ .

Brzls · 06. 10. 2014 18:01 — Editoval Brzls (06. 10. 2014 18:01)

Čau

Já bych to teda taky řešil metodou kouknu a vidim, ale jelikož to asi probíráte v souvislosti s geometrickou posloupností, a chceš na to namontovat nějakej vzorec, tak taky můžeš psát

$a_{n}=1+10^{1}+10^{2}+10^{3}+\ldots +10^{n}=\frac{10^{n}-1}{10-1}$

(ani bych se nedivil kdyby si to takto autor představoval)

ajucha · 06. 10. 2014 18:12

↑ byk7:
uz tomu tozumím, jak z toho udělali a_n=1/9*(10^n-1).
Ale jak vypočítám ten součet? na to je nějaký daný vzorec? nikde jsem takovýto podobný nenašla...

byk7 · 06. 10. 2014 18:13 — Editoval byk7 (06. 10. 2014 18:21)

↑ Brzls:

$a_n=\frac{10^{n+1}-1}{10-1}$

↑ ajucha:

No, už víš, že
$a_n=\frac{10^{n+1}-1}{9}$
a to si můžeš poupravovat
$s_n&=a_1+a_2+\cdots+a_n= \\ &=\frac{10^2-1}{9}+\frac{10^3-1}{9}+\cdots+\frac{10^{n+1}-1}{9}= \\ &=\frac19$\(10^2-1$+$10^3-1$+\cdots+$10^{n+1}-1$\)= \\ &=\frac19$\(10^2+10^3+\cdots+10^{n+1}$-(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n})\)= \\ &=\frac19$10^2+10^3+\cdots+10^{n+1}-n$=\cdots$

a dál už to snad zvládneš sama. :-)

ajucha · 06. 10. 2014 18:37

↑ byk7:
supeer :) uz tomu rozumim. Dekuju moc :)

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2014 17:22

součet posloupnosti

#2 06. 10. 2014 17:47

Re: součet posloupnosti

#3 06. 10. 2014 18:01 — Editoval Brzls (06. 10. 2014 18:01)

Re: součet posloupnosti

#4 06. 10. 2014 18:12

Re: součet posloupnosti

#5 06. 10. 2014 18:13 — Editoval byk7 (06. 10. 2014 18:21)

Re: součet posloupnosti

#6 06. 10. 2014 18:37

Re: součet posloupnosti

Zápatí