Matematické Fórum

YauMan · 04. 10. 2014 12:01

Ahoj!
Na foru jsem četl hodně příspěvků, které se ptají na tato témata, ovšem já jsem z toho tumpachový tak i tak.
Pomohl by mi někdo, prosím, odvodit krok po kroku tento vztah?
$\varepsilon _{ijk}. \varepsilon _{lmk} = \delta _{jm}\delta _{il} -\delta_{im} \delta_{jl}$
Zkoušel jsem si do levé strany dosazovat psotupně sudé a liché permutace, prostě všechny možné kombinace a vyšla mi nula.
A když už jsem u toho, hlavní problém, který mi není znám je tento: Jak vůbec se myšlenkově přišlo že vynásobené L-C symboly dají rozdíl násobků K-delta?
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1 … 2.app1/pdf Tento dokument, který již zde byl postnut mi ukázal všechny možné permutace u L-C symbolu, ovšem vůbec ne u K-delta.

A tohle se odvodilo jak? Kdo vyčaroval za vektorovým součinem index K? Proč je u složky a index J?
$\displaystyle \big(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\big)_i=\epsilon_{ijk}a_j(\vec{b} \times \vec{c})_k=\epsilon_{ijk}a_j \epsilon_{klm}b_lc_m$

Děkuji za pomoc.

Rumburak

Ahoj.

Dříve, než to začnu přepočítávat, se zeptám: vzal jsi v úvahu Einsteinovu sumační konveci ?
Podle ní platí, že jestliže se ve členu vyskytuje některý index dvakrát, pak se podle něj sčítá.
Např.

$\delta_{i,k}\,\delta_{j,k} = \sum_{k = 1}^n \delta_{i,k}\,\delta_{j,k} = \delta_{i,j}$ ,

kde $n$ je předpokládaná největší hodnota indexu $k$ , zpravidla dimense prostoru, v němž pracujeme.

YauMan · 06. 10. 2014 21:30

Jo, E.S.P. mám v merku.
Právě jsem zjistil, že by vztah mezi Epsilon a Deltou mohlo být nějak vysvětleno pomocí výkladu Epsilon jako determinantu.
Neuměl byste to?

Brano · 07. 10. 2014 01:59 — Editoval Brano (07. 10. 2014 02:01)

a v com je vlastne problem v tom dosadeni?

zvladnes dosadit napr. $i=l=1$ a $j=m=2$ alebo potom $i=m=1$ a $j=l=2$
ostatne pripady su v skutocnosti bud analogicke jednemu z tychto dvoch alebo su potom na oboch stranach nuly (tiez si treba dosadit)

Rumburak · 07. 10. 2014 11:19

↑ YauMan:

Máme

$A(i,j,l,m) := \varepsilon _{ijk}. \varepsilon _{lmk} = \varepsilon _{ij1}. \varepsilon _{lm1} + \varepsilon _{ij2}. \varepsilon _{lm2} + \varepsilon _{ij3}. \varepsilon _{lm3}$

a to je potřeba porovnat s

$B(i,j,l,m) := \delta _{jm}\delta _{il} -\delta_{im} \delta_{jl}$

Zkusil bych vyjádřit LC-symbol i K-delta pomocí funkce signum.

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2014 12:01

Levi-Civitův symbol versus Kroneckerovo delta

#2 06. 10. 2014 10:36 — Editoval Rumburak (06. 10. 2014 10:37)

Re: Levi-Civitův symbol versus Kroneckerovo delta

#3 06. 10. 2014 21:30

Re: Levi-Civitův symbol versus Kroneckerovo delta

#4 07. 10. 2014 01:59 — Editoval Brano (07. 10. 2014 02:01)

Re: Levi-Civitův symbol versus Kroneckerovo delta

#5 07. 10. 2014 11:19

Re: Levi-Civitův symbol versus Kroneckerovo delta

Zápatí