Matematické Fórum

Makrofág

Zdravím vás.

Pročítám si jednu učebnici analýzy a našel jsem v ní tvrzení, že: Každá posloupnost má alespoň jeden hromadný bod.
Tomuto tvrzení ale nevěřím, protože hromadný bod je definován jako bod, v jehož jakémkoli blízkém epsílon-okolí leží dalších nekonečně mnoho bodů z obou stran, tj. nechť h = hromadný bod dané posloupnosti: $\forall \varepsilon \in \mathbb{R} \wedge \varepsilon > 0 \exists x: x \in \mathbb{R} \wedge x = {a_{n}} \wedge x \in (h - \varepsilon ; h + \varepsilon )$

Pokud budu mít třeba posloupnost ${a_{n}} = n$ , pak nenajdu v této posloupnosti žádný takový hromadný bod. Nebo je tato věta správná a já se mýlím, protože používám nesprávnou definici hromadného bodu. Slyšel jsem, že definic hromadného bodu je více, tak opravdu nevím, jaká je ta pravá. Dovolím si ale tvrdit, že každá konvergentní posloupnost má hromadný bod a sice, je to suprémum limity té určité posloupnosti. Mám pravdu? Díky za odpovědi.

Brano · 07. 10. 2014 01:49

zalezi na tom ci sa to nahodou nemysli aj tak, ze ako hromadny bod moze sluzit aj $\infty$ resp. $-\infty$ - tie maju potom trosicku inu definiciu - body $\pm\infty$ nemaju sice "epsilon-okolia" ale maju "okolia" co vyzeraju ako $(K,\infty]$ a $[-\infty,L)$

a prave postupnost ktora je neohranicena zhora (resp. zdola) ma hromadny bod $\infty$ (resp. $-\infty$ )

Makrofág · 07. 10. 2014 09:27

↑ Brano:

Tohle se mi moc nezdá, protože si nemyslím, že je hromadný bod definován tak, že leží v rozšířené reálné ose. Měl by ležet jen v reálné. A pak by to tohle nebylo možné. A ano, teď jsem našel na slovenské wikipedii definici hromadného bodu. Je stejná, jako jsem psal v hlavní otázce a hromadný bod opravdu leží "jen" v reálném oboru. Takže ta nekonečna hromadné body být nemohou a mě nenapadá nic jiného, než že v té učebnici to tedy bylo špatně - v té větě asi chybělo slovíčko "konvergentní". Anebo přijde z vás někdo na to, že ta věta je správná? Pokud můžete, ještě mi prosím pomozte.

Jenda358

↑ Makrofág:

Ahoj.
Platí Bolzano-Weierstrassova věta. Ta tvrdí, že každá omezená posloupnost má alespoň jeden hromadný bod.
Posloupnost ${a_{n}} = n$ není omezená, takže o ní tato věta nic neříká.

Co se týče $\infty$ a $-\infty$ , záleží na definici hromadného bodu. Typicky se jako hromadné body uvažují pouze reálná čísla, nicméně je možné uvažovat i rozšířená reálná čísla. V takovém případě by pak i posloupnost ${a_{n}} = n$ měla hromadný bod, a sice svou limitu, tedy $\infty$ .

Makrofág · 07. 10. 2014 17:12

↑ Jenda358:

Děkuji Jedno358! Děkuji také Branovi! Konečně v tom mám jasno. Označil jsem téma jako vyřešené, protože nic hlubšího v tomhle řešit už nehodlám :)

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2014 22:49 — Editoval Makrofág (06. 10. 2014 23:09)

Hromadný bod u jakékoliv posloupnosti?

#2 07. 10. 2014 01:49

Re: Hromadný bod u jakékoliv posloupnosti?

#3 07. 10. 2014 09:27

Re: Hromadný bod u jakékoliv posloupnosti?

#4 07. 10. 2014 10:41 — Editoval Jenda358 (07. 10. 2014 10:43)

Re: Hromadný bod u jakékoliv posloupnosti?

#5 07. 10. 2014 17:12

Re: Hromadný bod u jakékoliv posloupnosti?

Zápatí