Matematické Fórum

Sherlock · 08. 10. 2014 23:11

Zdravím,
$http://upload.wikimedia.org/math/0/e/d/0ed0d28652a45d730d096a56e2d0d0a3.png$

Napíše mi někdo prosím nějaký intuitivní postup, jak tuto rovnici rotace pochopit? Proč je tam například ten sinus záporný atd.?

vanok · 08. 10. 2014 23:52

Ahoj ↑ Sherlock:,
Tu mas min co treba vediet
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

byk7 · 09. 10. 2014 00:06

↑ Sherlock:

Nejprve bude asi vhodné odvodit transformační rovnice kartézské soustavy,
to je pěkně udělané obrázkem zde na str. 31.

Nyní už tedy víme, že
$x'&=x\cos\theta-y\sin\theta \\ y'&=x\sin\theta+y\sin\theta$
což (vektorově-)maticově může zapsat jako
$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\cos\theta-y\sin\theta \\ x\sin\theta+y\sin\theta \end{pmatrix}$
a teď je asi nutné v tom vidět násobení matice a vektoru (pokud to nevíš, tak součin matice $\mathbf A$ a vektoru $\mathbf x$ se definuje následovně
$\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n \end{pmatrix}$
(prostě řádek matice násobíš vektorem,) takže výsledkem násobení matice a vektoru je vektor)
takže "vidíme" (prostě jsme tu matici "vytkli"), že můžeme psát
$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\cos\theta-y\sin\theta \\ x\sin\theta+y\sin\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
což je to, co jsme chtěli.

vanok · 09. 10. 2014 00:26

Ahoj ↑ byk7:,
Ano, je to pekne, ale na strednej skole je to trosku teoreticke.
Myslis, ze je vela ucitelov co to takto ucia?
Iste si clovek co by chcel zvysit uroven strednej skoly ale nie su ine metody?

byk7 · 09. 10. 2014 00:36

↑ vanok:

Ale vždyť Vy jste poskytl vlastně to samé. :-)
Já jsem jenom Váš odkaz doplnil o odvození transformačních rovnic
a o to, jak se násobí matice vektorem, což si myslím, je nutné
k pochopení výše zmíněného ↑ vztahu:.

vanok · 09. 10. 2014 00:42

Ahoj ↑ byk7:,
Ten text co som citoval ostal vzdy v dim najviac 3.
Ale mas pravdu ze by bolo lepsie ostat v dim 2.
Ale nemam po ruke cz, sk texty.
Mozme sa k tomu vratit, ale na urovni, kde nedudeme limitovany " strednou skolou"

Rumburak

↑ Sherlock:

Ahoj. (Zdravím i ostatní účastníky této diskuse.)

Uvědomme si geometrický význam Moivrevy věty pro součin komlexních čísel (z nichž jedno je komplexní jednotka)
vyjádřených v gonimetriclém tvaru:

$r (\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha) \cdot (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta) = r (\cos (\alpha + \theta)+ \mathrm{i} \sin (\alpha + \theta)) , r > 0$ .

Dosadíme-li do této rovnice $x = r \cos \alpha, y = r \sin \alpha, x' = r \cos (\alpha + \theta), y' = r \sin (\alpha + \theta)$ , máme

$(x + y \mathrm{i}) \cdot (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta) = x '+ y' \mathrm{i}$ .

Nyní stačí součin vlevo roznásobit "algebraicky" a porovnáním levé strany s pravou dostaneme rovnice

$x'&=x\cos\theta-y\sin\theta \\y'&=x\sin\theta+y\cos\theta$ ,

které již uvedl (bohužel s překlepem, který jsem původně opsal) kolega ↑ byk7:. Zapsat je pomocí součinu
matice s vektorem už není problém, když tu oparaci známe.