Matematické Fórum

Stain · 09. 10. 2014 18:22

Dobrý den, pomohl by mi prosím někdo s těmito úlohami?

1) Dokažte, že daná 3 čísla tvoří 3 následující členy jisté aritmetické posloupnosti. Určete diferenci.
$\log_{}16, \log_{}8, \log_{}4$

2)určete délky stran pravoúhlého trojúhelníka, pokud určují 3 po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.

Předem díky. :)

Eratosthenes · 09. 10. 2014 18:28

ahoj ↑ Stain:,

pomůže, když si zapíšeš čtverku, osmičku a šestnáctku jako mocniny dvou.

Freedy · 09. 10. 2014 18:34

Ahoj,

pro aritmetickou posloupnost musí platit:
$a_{n+1}=a_n+d$
Proto musíš dát do rovnosti podle velikosti:
$a_{1}=\log_{}4$
$a_{2}=\log_{}8$
$a_{3}=\log_{}16$
a vyzkoušet, jestli existuje takové d pro které platí:
$\log_{}16=\log_{}8+d$
$\log_{}8=\log_{}4+d$
___

2) pro pravoúhlý trojúhelník musí platit:
$a^2+b^2+c^2$
v řeči aritmetické posloupnosti to tedy bude:
$a_1^2+a_2^2=a_3^2$
stačí si označit:
$a_1=a_2-d$
$a_3=a_1+d$
a upravit daný vztah:
$a_2^2-2a_2d+d^2 +a_2^2=a^2_2+2a_2d+d^2$
$a_2^2=4a_2d$ můžeme dělit a_2 = 0 (strana nemůže bejt nulová)
$a_2=4d$
To znamená, že když si vymyslíme jakékoliv d, například 5 - můžeme k němu dopočítat a_2 a tím pádem i a_1 a a_3 a bude to platit.
Pro d = 5 například:
$a_2=20$
tím pádem $a_1=20-5=15$ $a_3=20+5=25$
můžeme si to ověřit, že to platí: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$

janca361 · 09. 10. 2014 18:48

↑↑ Stain:
Zdravím,
nezkládej duplicity - viz pravidla.

Radu k zamyšlení či nakopnutí si dostal vedle

janca361 napsal(a):
↑↑ Stain:
Hádám, že u 1) má být $\log_{}16, \log_{}8, \log_{}4$

Důkaz bych provedla tak, že určím diferenci mezi prvním a druhým členem a druhým a třetím členem

2) strany jsou $a_1$ $a_2$ $a_3$ , jak vypočítat pomocí $a_1$ a diference členy $a_2$ a $a_3$ ?

Co platí pro strany pravoúhlého trojúhelníka?

a od ↑ Eratosthenes:.

Zkus se nad tím zamyslet a ukázat vlastní snahu.

↑ Freedy: sice poskytl kompletní a pěkné řešení, ale skrývám ho. Nechť ↑ Stain: zapracuje na svém úkolu sám. Po prokázání přimeřené snahy odkryju.

Stain · 09. 10. 2014 18:53 — Editoval Stain (09. 10. 2014 18:56)

takže na to mám jít přes pythagorovu větu...
$a_{1}= \sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$ atd...
↑ janca361:

janca361 · 09. 10. 2014 19:12

↑ Stain:
Ano, Pytagorovu větu použiješ, ovšem teď je potřeba ty členy...

Stain · 09. 10. 2014 19:34 — Editoval Stain (09. 10. 2014 19:36)

takže $a_{2}=$ $\sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$ $+d$
a $a_{3}=$ $\sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$ $+2d$ ??
↑ janca361:

janca361 · 09. 10. 2014 19:37

↑ Stain:
a $a_2$ a $a_3$ zjistíš jak?

CHtělo by to využít to, že strany jsou členy AP...

Stain · 09. 10. 2014 20:29

no mám takový pocit, že to vyjde 3,4,5, ale bohužel je to jenom domněnka. Ale nedokážu to zformulovat :/ ↑ janca361:

Cheop · 10. 10. 2014 07:43 — Editoval Cheop (10. 10. 2014 08:14)

↑ Stain:
2)
Členy posloupnosti budou po řadě:
$a-d\\a\\a+d$ kde a je druhý člen posloupnosti a d je diference
Z Pythagorovy věty platí:
$(a-d)^2+a^2=(a+d)^2\\a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2\\a^2=4ad\\a=4d$
členy posloupnosti budou:
$4d-d=3d\\4d-0d=4d\\4d+d=5d$
Posloupnost tedy bude :
$3d;\,\,4d;\,\,5d$ pro $d=(1;\,2;\,3;\,\cdots\cdots)$