Matematické Fórum

joejoe · 10. 10. 2014 08:30

Dobry den, potrebujem pomoct , neviem ako mam priamo dokazat tento priklad

$\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{7^{i}} = \frac{7-7^{-n}}{6}$

nemam problem to dokazat pomocou indukcie, ale tu neviem ani ako mam zacat, mozete ma prosim naviest na spravnu cestu? dakujem

Jj · 10. 10. 2014 09:54

↑ joejoe:

Dobrý den. Řekl bych, že se jedná o geometrickou řadu.

joejoe · 10. 10. 2014 10:47 — Editoval joejoe (10. 10. 2014 10:49)

$q=\frac{1}{7}$
$http://upload.wikimedia.org/math/5/c/a/5cae720dc4b33cf70f2474d0d83648e8.png$
$a_1 = 1$
$s_{n}= \frac{7^{-n}-1}{-\frac{6}{7}}$
z toho ale nevyjdem, kde robim chybu?

vychdaza mi
$-\frac{7^{-n}.7-7}{6}$

Brano · 10. 10. 2014 11:44 — Editoval Brano (10. 10. 2014 11:45)

v prvom rade toto
$\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{7^{i}} = \frac{7-7^{-n}}{6}$
neplati - vlavo mas cislo a vpravo mas vyraz zavisiaci od $n$ - cize asi tam vlavo chcel byt sucet nie do nekonecna

potom dalsia nezrovnalost je, ze ak $a_i=7^{-i}$ tak potom $a_1=1/7$

joejoe · 10. 10. 2014 11:54

vlavo ma byt $\sum_{i=0}^{n}$ ...ma chyba

Lukáš Ba-mat-fyz · 10. 10. 2014 11:56

↑ joejoe:

Ahoj,

Tak potom jedine, co robis zle, je, ze clenov je $n+1$ a nie $n$

Brano · 10. 10. 2014 11:58

↑ joejoe:
tak uz iba dosadis spravne za $a_1$ vo vzorci co pouzivas a dostanes
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{7^{i}} = \frac{1-7^{-n}}{6}$
co je zase trochu ine ako zadanie, ale je to aspon spravny vysledok, zatial co tvrdenie v zadani spravne nie je :-)

joejoe · 10. 10. 2014 14:01 — Editoval joejoe (10. 10. 2014 14:02)

$n\in \mathbb{N}$
$\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{7^{i}}=\frac{7-7^{-n}}{6}$
$q=\frac{1}{7}$ , $a_{1}=\frac{1}{7^{0}}$
$s_{n}=a_{1}.\frac{q^{n}-1}{q-1}$
$s_{n}=1.\frac{7^{-n}-1}{-\frac{6}{7}}$
$s_{n}=1.\frac{ \frac{7^{-n}-1}{1}}{-\frac{6}{7}}$
$-\frac{7(7^{-n}-1)}{6}$

prominte mou hloupost ,ale vazne netusim co delam spatne :(

Jj · 10. 10. 2014 14:40

Vzorec pro součet geometrické posloupnosti počínaje členem a_0 po člen a_n, tj. pro celkem (n+1) členů je:

$s_n=a_{\color{red}0}\frac{q^{\color{red}{n+1}}-1}{q-1}=1\frac{(\frac{1}{7})^{n+1}-1}{\frac{1}{7}-1}=\frac{7^{-n-1}-1}{-\frac{6}{7}}=7\frac{1-7^{-n-1}}{6}=\frac{7-7^{-n}}{6}$

Brano · 10. 10. 2014 16:17

↑ Jj:
lenze on ma sumu v zadani od $i=1$ keby bola od $i=0$ tak je to presne ako pises - ale vyzera ze pociatocy (0 alebo 1) aj koncovy bod (n alebo nekonecno) podlieha zmenam pocasia :-)

↑ joejoe:
to nie je az take strasne sa v tomto pomylit, to sa stane kazdemu a nie len raz, len sa treba potom vyjadrit uz zavazne ake je zadanie naozaj

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2014 08:30

Priamy dokaz

#2 10. 10. 2014 09:54

Re: Priamy dokaz

#3 10. 10. 2014 10:47 — Editoval joejoe (10. 10. 2014 10:49)

Re: Priamy dokaz

#4 10. 10. 2014 11:44 — Editoval Brano (10. 10. 2014 11:45)

Re: Priamy dokaz

#5 10. 10. 2014 11:54

Re: Priamy dokaz

#6 10. 10. 2014 11:56

Re: Priamy dokaz

#7 10. 10. 2014 11:58

Re: Priamy dokaz

#8 10. 10. 2014 14:01 — Editoval joejoe (10. 10. 2014 14:02)

Re: Priamy dokaz

#9 10. 10. 2014 14:40

Re: Priamy dokaz

#10 10. 10. 2014 16:17

Re: Priamy dokaz

Zápatí