Matematické Fórum

blak · 11. 10. 2014 08:19

↑↑ jelena:

Aha, takže nesmím dosazovat tam, kde byla funkce záporná tj v intervalech $(-\infty ,-\sqrt{2}> , \langle\sqrt{2,3}\rangle$ .

A změnit závorky u těch kladných na $(3,\infty)(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ a pak zkusit, zda je $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ v nich taky kladné. Což je, když jsem tam zkusil zadat nějaké číslo z intervalu, tak vyšla $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ kladně na těhlech dvou.

jelena · 11. 10. 2014 11:39

↑ blak:

děkuji.

Aha, takže nesmím dosazovat tam, kde byla funkce záporná

tam, kde vnitřní funkce g(x) (to je ta funkce pod odmocninou $g(x)=x^3-3x^2-2x+6$ ) byla záporná. Pokud bys dosazoval čísla ze "zakázaných" intervalů, potom by pod odmocninou bylo číslo záporné a kalkulačka buď nevypočte, nebo pokročilejší vydá výsledek v oboru komplexních čísel. A to nemůžeme použit.

Závěr Tvého výpočtu je v pořádku, ale v práci, pokud připravuješ, je lepší napsat, že znaménko hodnoty funkce (kladné) jsi posoudil z definice druhé odmocniny - viz odkaz a překontroloval dosazením různých zvolených bodů z intervalů def. oboru. V bodech $x=3$ , $x=-\sqrt 2$ a $x=\sqrt 2$ funkce $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ má nulové hodnoty ( $f(x)=0$ ).

Rozumíš tomu, prosím? Děkuji.

blak · 11. 10. 2014 11:52

↑ jelena:
Vím, že v tabulce jsem hledal jen intervaly, kde bude kladná, kvůli té odmocnině, že nemůžu mít záporné číslo pod ní. Když jsem kreslil graf, tak mi i vyšlo že $x=3$ $x=-\sqrt 2$ $x=\sqrt 2$ za X vyšlo Y 0. U tabule bych tedy řekl, že nabývá kladných hodnot v intervalu $(3,\infty)(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ a záporných v $(-\infty ,-\sqrt{2}> , \langle\sqrt{2,3}\rangle$ . A to je vše co se po mě chtělo.

Díky, už to snad chápu :)

jelena · 11. 10. 2014 12:03

↑ blak: ach jo :-)

bohužel, toto není dobře

a záporných v $(-\infty ,-\sqrt{2}> , \langle\sqrt{2,3}\rangle$ . A to je vše co se po mě chtělo.

Ty pořád mluvíš o výrazu pod odmocninou. Ale bod 3. požaduje se dívat už na funkci $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ (na obor hodnot).

že nemůžu mít záporné číslo pod ní.

ano, nemůžeš, ale to jsi již využil v kroku hledání "def. oboru. Teď musíš říci, že ani výsledek odmocňování nemůže být záporný, tedy Tvá funkce $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ je kladná na celém def. oboru $(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(3,\infty)$ , jen v $x=3$ , $x=-\sqrt 2$ , $x=\sqrt 2$ nulová. Nikde není záporná. Viz také Tvůj graf - celý je nad osou x (až na tři nulové body na ose).

blak · 11. 10. 2014 12:12

↑ jelena:

Jo takhle, už to chápu, oni se neptají na intervaly, záporné, ve kterých ta funkce nemá smysl, tím se nemyslí "že v těhle intervalech nabývá záporných hodnot na grafu.

Ale myslí se to tak, ve kterých intervalech dává smysl, to je jen v kladných a pak už dává smysl jen v těch nulových bodech. Záporná není nikde. A na to se ptají, jestli by dávala smysl i v některých záporných číslech, což nedává, proto není záporná vůbec :)

Teď už je to snad dokončené. Moc díky :)

jelena · 11. 10. 2014 14:54

A na to se ptají, jestli by dávala smysl i v některých záporných číslech, což nedává, proto není záporná vůbec :)

:-) "Zlato naše, cením si námahu," (c)

Oni se ptají, zda může být na grafu funkce $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ bod, který je pod osou x, tedy jeho y-souřadnice je záporná? A my jim řekneme, že v žádném případě - protože zápis funkce obsahuje sudou odmocninu a výsledek sudého odmocňování (podle definice a dohody o sudých odmocninách) je buď kladný nebo 0.

A celé jim to řekneme tak:

Dostali jsme funkci $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ , u které máme naznačit náčrtek grafu. Práci s funkci vždy začínáme stanovením definičního oboru (tedy pro která x má funkce smysl). V zadání máme sudou odmocninu a výraz pod takovou odmocninou musí být nezáporný.
Proto jsme řešili nerovnici $x^3-3x^2-2x+6\geq 0$ a pro řešení jsme použili tabulku nulových bodů a znamének. Z toho nám vyšel definiční obor $x\in \langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\rangle\cup \langle3,\infty \rangle$ . Tak jsme završili bod 1. zadání.
V bodě 2 se ptali na nulové body funkce $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ , to už máme jasno z předchozího - funkce je nulová, když budeme odmocňovat 0 a to je pro $x=3$ , $x=-\sqrt 2$ a $x=\sqrt 2$ .

V bodě 3 se ptají - a kde přibližně bude graf funkce: nad osou x - tedy funkce $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ nabývá jen kladných hodnot. Nebo pod osou x - tedy $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ nabývá jen záporných hodnot. Nebo i nad i pod, protože je funkce $f(x)=\sqrt{x^3-3x^2-2x+6}$ jak kladná, tak záporná.

A zde my řekneme - určitě nebude pod osou x, protože výsledek sudého odmocňování nemůže být záporný. Bude jen nad osou x (výsledek sudého odmocňování je vždy kladný), nebo bude mít body přímo na ose x - když odmocňujeme 0. To znamená, že pro celý definiční obor (z 1. bodu) $x\in \langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\rangle\cup \langle3,\infty \rangle$ funkce je nezáporná (kladná nebo nulová), úplně přesně: kladná je pro $x\in $-\sqrt{2},\sqrt{2}$\cup $3,\infty $$ a nulová pro $x=3$ , $x=-\sqrt 2$ a $x=\sqrt 2$ .

A oni nám řeknou:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Musíš to celé přečíst nahlas a vhodně intonovat :-)

blak · 11. 10. 2014 15:29

↑ jelena:

Jsem na VŠE, tohle je normální předmět matematika A, jen v tom trochu plavu, není to seminárka nebo tak. Snažím se počítat co to jde, abych pak zvládl předmět a měl ho splněný :-) Půjdu k tabuli, spočítám $(x^3-3 x^2-2 x+6):(x-3)=x^2-2$ z toho kořeny(2) jsou $x=-\sqrt 2$ a $x=\sqrt 2$ . Sestavím tabulku pro def. obor, určím kdy je funkce kladná a kdy záporná. Zapíšu (1)def. obor $x\in $-\sqrt{2},\sqrt{2}$\cup $3,\infty $$ . Sestavím graf X, kde zahrnu i nulové body a načtrtnu graf. A teď řeknu, že graf (3)nenabývá záporných hodnot pod osou X.

U zadané funkce určete 1. definiční obor, 2. kořeny (=nulové body), 3. kde na-
bývá kladných/záporných hodnot, 4. a dále vypočítejte její hodnotu v dostatečném
množství bodů (cca 5–10, podle potřeby), a tyto hodnoty zakreslete do grafu tak,
abyste získali přibližnou představu o jejím průběhu.

jelena · 11. 10. 2014 17:04

↑ blak:

děkuji - poznámka o regionálním rozvoji je aplikace důsledku výzkumu :-)

K postupu - hodně pomůže, když nebudeš vynechávat podstatné kroky úvah. Napsal jsi "Půjdu k tabuli, spočítám...", vynechal jsi to podstatné - proč jsi dělil (x-3), jak jsi na závorku (x-3) došel a která úvaha předcházela těmto krokům - důvod a způsob řešení nerovnice $x^3-3x^2-2x+6\geq 0$ .

Sestavím tabulku pro def. obor, určím kdy je funkce kladná a kdy záporná

zde nemluvíš o zadané funkci, ale o vnitřní, která je pod odmocninou, popisuješ práci s tabulkou nulových bodů a znamének při řešení nerovnice.

U def. oboru jen oprav závorky $x\in \langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\rangle \cup \langle 3,\infty)$ , jelikož i okraje intervalu splňuji požadavky na def. obor.

Sestavím graf X, kde zahrnu i nulové body a načtrtnu graf. A teď řeknu, že graf (3)nenabývá záporných hodnot pod osou X.

ano, pokud ho načrtneš z úvah: na intervalu $\langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\rangle$ funkce f(x) začíná na ose x a končí na ose x. Jelikož je to odmocnina, tak další hodnoty mohou být pouze kladné. Tedy ona "nějak" roste od $x=-\sqrt 2, (y=0)$ a potom klesá do $x=\sqrt 2, (y=0)$ Tak na graf nakreslím takový oblouček.
Potom vynechám část osy x, kde funkce není definována a od bodu $x=3, (y=0)$ už jen roste. Tak tam nakreslím větev "nahoru".

Pořád jsme pracovali s definici druhé odmocniny. Z předchozí úvahy máme znaménka funkce f(x) - nenabývá záporných hodnot (není pod osou x) v žádném bodě def. oboru.

Dovolili Tobě doplnit i pár bodů - což by mělo jen potvrdit náznak průběhu, který jsme v předchozím povídání odvodili bez podrobných výpočtů. Důležité je (u tabule, nebo nad sešitem vždy si ujasnit PROČ? a CO? a až návazně JAK?). Podle vašich sešitů je vždy JAK :-) A přitom - předpokládá se snad, aby absolvent VŠE uměl JAK? Na to bude lidí dost, on musí umět CO.

Zdar přeji.