Matematické Fórum

deniisek19 · 11. 10. 2014 18:07 — Editoval jelena (12. 10. 2014 17:31)

Jsem tu ještě s jením příkladem: $\int ({x}^{2}+6x+3)\cos 2x \d x$
$u={x}^{2}+6x+3$
$u^{\prime}=2x+6$
$v^{\prime}=\cos 2x$
$v=\frac{1}{2}\sin 2x$

$={}^{} ({x^2}+{6x}+3)\frac{1}{2}\sin 2x-\int (2x+6){\frac{1}{2}\sin 2x dx}$

dále by mělo asi pokračovat další per partes? nevím už co zvolit:(

Freedy · 11. 10. 2014 18:19 — Editoval Freedy (11. 10. 2014 18:23)

Integrál:
$\int_{}^{}(2x+6)\sin 2x$ se jiste může znova řešit po částech.

deniisek19

↑ Freedy:
u=2x+6, u'=2
v'=sin2x, v=-cos2x

ano? tím pádem
$2x+6*(-cos2x)-\frac{1}{2}\int_{}2*(-cos2x)^{}= 2x+6*(-cos2x)+sin2x dx?$

a to je vše?

Freedy · 11. 10. 2014 18:47 — Editoval Freedy (11. 10. 2014 18:47)

v' = sin2x, v = -1/2 * (cos(2x))

deniisek19

↑ Freedy:
$2x+6*(-\frac{1}{2}cos2x)-\frac{1}{2}\int_{}2*(-cos2x)^{}= 2x-3*cos2x)+sin2x dx?$

jsem z toho už vážně zmatená

deniisek19 · 12. 10. 2014 15:21

jak se pokračuje dál?:( děkuji

jelena · 12. 10. 2014 17:43

Zdravím,

opravila jsem zápisy v 1. příspěvku, podívej se, prosím, na označení pro per partes - možná i proto se trochu ztrácíš. Došla jsi k (jen pozor na 1/2, která někde vypadla. lze upravit)

$\int_{}^{}(2x+6)\cdot \frac{1}{2}\sin 2x\d x=\int_{}^{}(x+3)\sin 2x\d x$

a pokračuješ:
u=x+3, u'=1
v'=sin(2x), v=-(1/2)cos2x

$=(x+3)\cdot $-\frac{1}{2}$\cos (2x) -\int 1\cdot $-\frac{1}{2}$\cos (2x)\d x$

$\int \cos (2x)\d x$ můžeš dokončit substituci $2x=u$ . Až budeš přepisovat, pozor na všechny koeficienty a na znaménka, to se lehce ztrácí. Pořádně překontroluješ v MAW.

Xellos · 13. 10. 2014 00:36

↑ deniisek19:

Preco si netipnut riesenie v tvare $p(x)\cos{2x}+q(x)\sin{2x}$ , kde $p,q$ su polynomy stupna najviac 2?

$-2p(x)\sin{2x}+p'(x)\cos{2x}+q'(x)\sin{2x}+2q(x)\cos{2x}=(x^2+6x+3)\cos{2x}$

$q'(x)=2p(x)$
$p'(x)+2q(x)=\frac{1}{2}q''(x)+2q(x)=(x^2+6x+3)$

Ak je $q(x)=Ax^2+Bx+C$ , tak $\frac{1}{2}q''(x)=A$ a lahko doratame $A=\frac{1}{2}, B=3, C=\frac{5}{4}, p(x)=\frac{2Ax+B}{2}=\frac{x+3}{2}$ . Funkcia

$F(x)=\frac{x+3}{2}\cos{2x}+\frac{1}{4}(2x^2+12x+5)\sin{2x}+\mathrm{const.}$

skuske vyhovuje a asi je to tu rychlejsie aj menej pracne ako per partes.