Matematické Fórum

Ahoj, mohli byste se mi prosím podívat na tenhle příklad na sup/inf/max/min množin? Už jsem prohledal všechno možné a příklad nenašel, tak jsem se pokusil o své řešení. Dík

Nalezněte sup, inf, max, min, pokud existují
M = {m/n, m a n náleží do N}

Podíl p/q, kde p je celé číslo a q číslo přirozené, je racionálním číslem. Pokud i p je přirozené číslo, máme tak množinu kladných racionálních čísel; navíc m≥1 a n≥1.

1.případ
m = n;
pak m/n = 1/1, 2/2, 3/3, 4/4,…, k/k = 1

(1) v případě m = n je podíl m/n vždy roven {1}.

2.případ
m ≥ n,
pak m/n = např. 1/1, 2/1, 3/1, 4/1,… ale i např. 5/4, 11/6, 7/2, tj. vždy m/n ≥1;
pokud m roste nade všechny meze, hodnota podílu m/n se blíží nekonečnu (∞), pro všechna n náležející N; (např. 999999/2, 100000000/3 apod.) protože však nekonečno (∞) nepatří do množiny přirozených ani racionálních čísel, je „ošetřen“ případ ∞/∞, tzv. neurčitý výraz,

(2) V případě m ≥ n je množinou řešení interval [1;∞)

3.případ
m ≤ n,
pak m/n = např. 1/1, ½, 1/3, ¼,… ale i např. 2/3, 4/7, 3/13, nebo až např. 3/99999 nebo naopak 998/999, tj. vždy 0 < m/n ≤ 1.
Výraz m/n se nemůže rovnat nule, v takovém případě by muselo ve jmenovateli být n = ∞, které však nenáleží do množiny přirozených čísel.
Tedy
Množina prvků m/n je zdola omezená, protože však ∞ nepatří mezi povolené hodnoty n, nemůže být m/n = 0, i když se této hodnotě limitně blíží.

(3) V případě m ≤ n je množinou řešení interval (0; 1]

Sjednocením intervalů (1), (2), (3) je interval (0;+∞)
Tedy sup M = +∞, inf M = 0, maximum a minimum neexistují.