Matematické Fórum

baju · 13. 10. 2014 09:43 — Editoval baju (13. 10. 2014 09:46)

ahoj, nutně bych potřebovala pomoci s výpočtem těchto integrálu

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-10/85227_10726264_10203461636565720_1591155331_n.jpg

Co se týče toho prvního - zkoušela jsem to substitucí.
t - ln(x)
dt - $\frac{1}{x}$
tudíž = $\int_{t+1dt}^{}$
a teď už prostě nevím jak dál, dle wolfram alpha je výsledek tento:
$\frac{2}{3}$ (lnx + 1 $\mathrm{)}^{\frac{2}{3}}$

ten další jsem zase zkoušela substitucí
t - $\mathrm{x}^{2} - x + 12$
dt - (2x-1)dx
výsledek: integrál 1/t dt
= log(t) + C
= $log (\mathrm{x}^{2}-x+12)$

a prostě mi to příjde, že to mám špatně :( Prosím o radu
ty další dva s tím si neumím poradit vůbec

Jj · 13. 10. 2014 10:06

↑ baju:

Dobrý den. Řekl bych, že

- první řešit substitucí: $\ln x + 1 = t^2 \Rightarrow \frac{dx}{x}=2tdt\Rightarrow \int t \cdot 2t\, dt$

- druhý integrovat přímo - je tvaru $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln |f(x)|+C$

- třetí substituce $x+1=t^2,\; dx = 2tdt$ + úpravy

baju · 13. 10. 2014 15:49 — Editoval baju (13. 10. 2014 16:25)

Nevím si rady s posledním a tím třetím ... Jinak mám už vše . Prosím o radu

Honzc · 13. 10. 2014 16:13

↑ baju:
poslední
$\int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int_{}^{}\frac{1}{\text{tg}x-1}dx$
pak použij substituci $\text{tg}x=t$
$dx=\cos ^{2}xdt=\frac{1}{t^{2}+1}dt$
po úpravě $=...\int_{}^{}\frac{dt}{(t-1)(t^{2}+1)}$
rozklad na parciální zlomky

ještě nápověda:
$\frac{\text{tg}x-1}{\sqrt{\text{tg}^{2}x+1}}=\frac{\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}=\sin x-\cos x$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

baju · 13. 10. 2014 16:56

↑ Honzc: děkuji moc, ale ten poslední nedokážu vůbec vypočítat :(

Jj · 13. 10. 2014 18:50 — Editoval Jj (13. 10. 2014 18:51)

↑ baju:

Ten třetí integrál se dá k mému úžasu jednoduše "ošulit" úplně formální úpravou čitatele:

$\; I=\int \frac{\cos x}{\sin x - \cos x} dx=\int \frac{\cos x+\sin x-\sin x+\cos x-\cos x}{\sin x - \cos x} dx=$

$= \int $\frac{\cos x+\sin x }{\sin x - \cos x}-\frac{\sin x-\cos x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos x}{\sin x - \cos x}$ dx=$

$= \int \frac{(\sin x-\cos x)' }{\sin x - \cos x} dx- \int dx - \int \frac{\cos x}{\sin x - \cos x} dx=$

$\Rightarrow I = \ln |\sin x - \cos x| - x - I$ a integrál I máme na obou stranách rovnice --> můžeme jej vypočítat, takže

$I = \frac{1}{2} \ln |\sin x - \cos x| - \frac{x}{2} + C$

baju · 03. 11. 2014 12:34

potřebovala bych to na rozklad na parciální zlomky - vrátila mi program, že to mám špatně. :(

Jj · 03. 11. 2014 15:27 — Editoval Jj (03. 11. 2014 15:30)

↑ baju:

Takže asi pokračovat ve výpočtu podle kolegy ↑ Honzc::

$\frac{1}{(t-1)(t^2+1)}=\frac{A}{t-1} +\frac{Bt +C}{t^2+1}\Rightarrow 1=A(t^2+1)+(Bt+C)(t-1)\Rightarrow$

$(A+B)t^2+(C-B)t+(A-C)=1$ , z porovnání koeficientů u stejných mocnin plyne soustava rovnic

A+B=0, C-B=0, A-C=1 --> řešení soustavy: A=1/2, B=C=-1/2

$\Rightarrow \int \frac{dt}{(t-1)(t^2+1)} =\frac{1}{2}\int $\frac{1}{t-1}-\frac{t+1}{t^2+1}$dt=$

$=\frac{1}{2}\int $\frac{1}{t-1}-\frac{t}{t^2+1}-\frac{1}{t^2+1}$dt=$

$=\frac{1}{2}$\ln|t-1|-\frac{1}{2}\ln|t^2+1|-\arctan t$\Rightarrow$ po zpětné substituci t = tg(x) a úpravě dostanete původní výsledek integrace

$\frac{1}{2}(ln|\sin x-\cos x|-x)+C$