Matematické Fórum

Frikulin1 · 13. 10. 2014 18:08

Zdravím, nevím si rady s určením oboru hodnot (postupem) následujících příkladů:
a,b je z R a b větší jak 0

a) $f: y=x+\frac{1}{x}$

b) $f: y=ax+\frac{b}{x}$

c) $f: y=x-\sqrt[]{x+1}$

d) $f: x=x+1-\sqrt[]{x}$

Stačí mi jen napsat podrobnější postup řešení - lépe řečeno jak to mám řešit, výsledky mám. Předem vám moc děkuji lidi.

Sherlock · 14. 10. 2014 08:13

Co vyzkoušet limity v nekonečnu? např. u toho áčka. První derivace by mohla taky něco prozradit. :)

Frikulin1 · 14. 10. 2014 10:03

Potřebovala bych spíše nějaký princip - bez limit a derivací.

Jj · 14. 10. 2014 11:05

↑ Frikulin1:

Dobrý den. Obecně snad - určit definiční obor funkce, průběh funkce (aspoň orientačně) a odtud množinu hodnot, kterých může funkce na definičním oboru nabýt. Takže v podstatě podle rady kolegy ↑ Sherlocka:.

zdenek1 · 14. 10. 2014 12:54

↑ Frikulin1:
Obecný postup je vyjádřit si z rovnice $x$ a stanovit podmínky pro $y$ - to je pak obor hodnot.
Předvedu na a)
$y=x+\frac1x$
$x^2-yx+1=0$
$D=y^2-4\ge0$
$y\in(-\infty;-2]\cup[2;\infty)=H_f$

Frikulin1 · 14. 10. 2014 13:26

Díky moc, už jsem si vzpoměla :D jsem fakt vděčná

Frikulin1 · 14. 10. 2014 14:32

Omlouvám se, že zase píšu, ale nastal problém. Když jsem tuto metodu použila u dalších příkladů, tak to nevyšlo. Je tam nějaká podmínka, nebo něco, co se musí došetřit?
Např. příklad 2:
po vypočítání my vyšlo:

$x^{2}+x(-2x-1)+(y^{2}-1)=0$

po dosazení do diskriminantu:

$4y+5\ge 0$

$y\ge \frac{-5}{4}$

ale výsledek má vyjít $(-\infty ,-5/4)$

tady se to aspoň trochu podobá, ale u ostatních už vůbec ne. Předem díky

Výsledky ostatních:
b) $(-\infty ,-2ab)\cup (2ab,\infty )$

d) $\langle3/4,\infty )$

Freedy · 14. 10. 2014 15:11 — Editoval Freedy (14. 10. 2014 15:24)

Ahoj, tak u c máš přece:
$y=x-\sqrt{x+1}$
Uvažujme že $x\ge-1$
Máme tedy:
$y-x=-\sqrt{x+1}$
$x-y=\sqrt{x+1}$
Z tohoto vztahu lze usoudit fakt, že výraz nalevo nesmí být záporný, proto předpokládejme $x\ge y$
Po umocnění tedy za těchto předpokladů dostáváme:
$x^2-2xy+y^2=x+1$
$x^2-(2y+1)x+y^2-1=0$
Diskriminant této rovnice je:
$\Delta =(2y+1)^2-4(y^2-1)$
Musí platit: $\Delta \ge 0$ proto:
$(2y+1)^2-4(y^2-1)=4y^2+4y+1-4y^2+4=4y+5\ge 0$
a z toho poslední vztahu již plyne obor $H_f=\langle-\frac{5}{4};\infty )$ čili to samé, co jsi dokázal ty.
Ohlížet se na výsledky nemusí být vždy nejlepší. Nejjednodušší je se jen podívat na původní funkce a vidět, že pravá je například pro x = 99 $y=99-\sqrt{100}=89$ což je v rozporu s výsledkem

Freedy · 14. 10. 2014 15:29

Funkce $y=ax+\frac{b}{x}$ se bude řešit obdobně. Vyjádříš si podmínky pro y. (uvažujme x je reálné mimo nulu)
$xy=ax^2+b$
Platí tedy $ax^2-xy+b=0$ což se bude řešit úplně analogicky jako předchozí případ. Podmínky pro D?

Funkce $y=x+1-\sqrt{x}$ opět úplně stejně. Podmínky pro x samozřejmě x > 0.
Dále můžeme soudit že $x-y+1\ge 0$ máme tedy:
$\sqrt{x}=x-y+1$ umocněním získáváme (za určitých podmínek)
$x=x^2-2xy+y^2+2x-2y+1$
$x^2-(2y-1)x+y^2-2y+1=0$
a opět stanovit podmínky pro diskriminant