Matematické Fórum

Anonymystik · 15. 10. 2014 21:05

Je dán trojúhelník ABC. Najděte bod D takový, že součet $|AD|^2 + |BD|^2 + |CD|^2$ je nejmenší možný.

Bati · 15. 10. 2014 21:57 — Editoval Bati (18. 10. 2014 14:07)

Ahoj.
Je to

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Anonymystik · 15. 10. 2014 22:13

↑ Bati: Moje řešení je stejné. :-)

Bati · 15. 10. 2014 22:33

↑ Anonymystik:
:-) Třeba někdo přijde s něčím jiným.

check_drummer

Ahoj,
k řešení využiji toho, že znám řešení. :-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

nikoma · 18. 10. 2014 02:07 — Editoval nikoma (18. 10. 2014 02:11)

Bati napsal(a):
Ahoj.
Je to
Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!
Skrytý text:
těžiště. Úloha je ekvivalentní úloze nalezení minima hladké funkce $f(x,y)=\sum_{i=1}^3$(x-x_i)^2+(y-y_i)^2$$ , kde $\{[x_i,y_i]\}$ jsou vrcholy ABC. Snadno nahlédneme, že $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=2\sum_{i=1}^3(x-x_i)=0\Leftrightarrow x=\tfrac{x_1+x_2+x_3}3$ a podobně pro y.

Řešení samozřejmě nespadá do středoškolských metod, uvádím to jen pro zajímavost, abych ilustroval efektivitu pokročilejších metod (stejný postup bych mohl použít pro libovolný mnohoúhelník) a případně motivoval někoho k jejich studiu.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Bati · 18. 10. 2014 12:29

↑ nikoma:
Uznávám, že to, co jsi udělal je to samé jako já, jen s použitím středoškolských metod.
ALE: toto samo o sobě nestačí bez dalších (nestředoškolských) úvah k závěru, že $f(x,y)$ má v těžišti maximum. Uvědom si, že existují věci jako toto. Uznávám, že v tomto směru byl můj příspěvek dost matoucí a za to se omlouvám. Doplním ho.

Anonymystik

Nu, já si dovolím sem dám fyzikální vsuvku. Když uvážíme kinetickou energii rotujícího tělesa kolem pevné osy, lze spočítat pomocí vzorce $E = \frac{1}{2} J \omega^2$ , kde $J$ je moment setrvačnost rotujícího tělesa vzhledem ke zvolené ose, $\omega$ je úhlová rychlost. Přitom $J$ se v případě množiny diskrétních bodů spočítá jako $\sum_{i=1}^{n}m_i r_i^2$ , kde $m_i$ jsou hmotnosti příslušných bodů, $r_i$ jsou vzdálenosti od osy otáčení. Navíc platí tzv. Steinerova věta $J = J_T + mr_T^2$ , kde $J_T$ je moment setrvačnosti, kdyby těleso rotovalo kolem osy procházející těžištěm, $r_T$ je vzdálenost těchto dvou (rovnoběžných) os. Je tedy vidět, že $J$ je minimální, když $r_T=0$ , tj. osa rotace prochází těžistěm.
--
Lze nahlédnout, že v mém případě, zvolíme-li $m_1 = m_2 = m_3$ , je minimalizace momentu setrvačnosti ekvivalentní minimalizaci výrazu $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = |AD|^2 + |BD|^2 + |CD|^2$ . Proto minimum výrazu je pro volbu D v těžišti.