Matematické Fórum

inconnu · 15. 10. 2014 14:46

Zdravím,
chci se zeptat...
U výrazů následujícího typu:
(např.) $\sqrt{ab}\sqrt[3]{a^{2}b^{4}}$ se dělají podmínky nebo ne???
A pokud ano, tak jaká bude?
Na první pohled bych tvrdil, že takováto: $[(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)]\vee [(a\le 0)\wedge (b\le 0)]$ .
Na druhý pohled bych však mohl tvrdit, že a ani b nemohou být záporná, čili by podmínka byla $(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)$ .
No a nakonec, kdybych a i b položil rovno -1, bych dostal výsledek 1.
Takže teď jsem z toho všeho úplně vedle!!!

inconnu · 15. 10. 2014 15:01

No, tak jsem si to nechal ještě jednou projít hlavou a došel jsem k závěru, že správná podmínka bude ta druhá, čili $(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)$ .
No a pak jsem si vzpomněl, že existuje také něco jako funkce, takže co se týče těch -1, my je vlastně ani neuvažujeme (i když by dávaly smysl po dosazení do výrazu), že?

Jj · 15. 10. 2014 15:09

↑ inconnu:

Dobrý den. Řekl bych, že podmínka (pokud by byla nutná) může být $a\cdot b \ge 0$ .

inconnu · 15. 10. 2014 16:13

Ano, já si řekl, že podmínka je $a\cdot b \ge 0$ a to nastane právě tehdy, když $[(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)]\vee [(a\le 0)\wedge (b\le 0)]$ .
Nebo to je špatně?

Jj · 15. 10. 2014 16:23

↑ inconnu:

Není to špatně. Obě vyjadřují totéž, jen jedna podstatně úsporněji.

inconnu · 15. 10. 2014 16:27

No a když si napíšu, že $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ , tak už mi nastane určitý problém v podmínkách, ne?

jelena · 15. 10. 2014 20:33

Zdravím,

↑ inconnu: neřekla bych, že "problém nastane" (problémům je třeba předcházet) - spíš je třeba napsat, pro které a, b úprava $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ platí. Nejde totiž o ekvivalentní úpravu na celém def. oboru pro výraz pro odmocninou nalevo.

Obdobný případ je např. $\ln x^2=2\ln x$ , nebo $\ln \frac{x-1}{x+1}=\ln (x-1)-\ln (x+1)$ . Pravidla s logaritmy běžně používáme, ale nejsou to ekvivalentní zápisy, pokud neupřesníme def. obory nalevo a napravo. Jak vznikl problém úvodního příspěvku? Děkuji.

inconnu · 15. 10. 2014 20:41

Úkolem je upravit tento výraz $\sqrt{ab}\sqrt[3]{a^{2}b^{4}}$ .
Zřejmě by se měly přidat podmínky pro a, b, kdy daný výraz má smysl.
Tam jsem se prostě zasekl... Šlo mi o to, jestli podmínkou je toto $[(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)]\vee [(a\le 0)\wedge (b\le 0)]$ , nebo když budu výraz upravovat, tak jestli mi další výrazy budou formovat podmínku ze zadaného výrazu, čili jestli mi úprava $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ zredukuje původní podmínku na $(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)$ .
Takže když nejde o ekvivalentní podmínku, tak mi je nezredukuje a podmínkou je stále $a\cdot b \ge 0$ , čili $[(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)]\vee [(a\le 0)\wedge (b\le 0)]$ ?

jelena · 15. 10. 2014 21:04 — Editoval jelena (15. 10. 2014 21:37)

↑ inconnu:

pokud je úkolem "upravit výraz", tak potom se začne od "podmínky" pro zadaný výraz a musí se zapisovat podmínka každé úpravy, tedy přepis $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ platí pro nezáporná a, b - první vlastnost a podmínky mocnin 0, konkrétně - pro odmocninu. Na závěr zapsat podmínky výsledku úprav.

Něco jiného je požadavek stanovit def. obor výrazu $\sqrt{ab}\sqrt[3]{a^{2}b^{4}}$ (zde pracujeme s výrazem tak, jak je, jelikož úpravy mohou def. obor ovlivňovat). Je vidět rozdíl v zadání a dopady na postup? Děkuji.

Edit: upřesněno pro odmocninu

inconnu · 15. 10. 2014 21:15

Takže na začátku stanovím def. ob. výrazu, tj. $[(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)]\vee [(a\le 0)\wedge (b\le 0)]$ a postupem, úpravami, budu zapisovat další podmínky, takže nakonec mi z toho vyleze podmínka $(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)$ , za které má smysl ten výraz upravovat?

jelena · 15. 10. 2014 21:42 — Editoval jelena (15. 10. 2014 21:52)

↑ inconnu:

počáteční def. obor jsou všechno dle $[(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)]\vee [(a\le 0)\wedge (b\le 0)]$ (chybně, že všechna reálná čísla). Potom můžeme provést takovou úpravu $(ab)^{\frac{1}{2}}(ab)^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}$ , to jsme ještě def. obor neporušili, záleží, v kterém kroku nás to donutí (tedy až na který tvar budeme upravovat).

Edit oprava

inconnu · 15. 10. 2014 21:45

Já si teda ale nemyslím, že poč. def. ob. jsou všechna reálná čísla.
Když vezmu a=1 a b=-1, tak to nemůžu dosadit do té první odmocniny.

jelena · 15. 10. 2014 21:50

↑ inconnu:

určitě máš pravdu, omlouvám se, špatně jsem přečetla podmínku $[(a\ge 0)\wedge (b\ge 0)]\vee [(a\le 0)\wedge (b\le 0)]$ , tu jsme ještě úpravou neporušili.

inconnu · 15. 10. 2014 22:03

Budu se chtít dostat až ke tvaru: $\sqrt[6]{a^{7}b^{11}}$ .
Čili si rozepíšu každé proměnné v jednotlivých mocninách, pak to posčítám a napíšu opět ve tvaru odmocniny...
Tím pádem už mi z toho vypadne podmínka $(a\le 0)\wedge (b\le 0)$ , že?

jelena · 15. 10. 2014 22:23

↑ inconnu:

právě nemusíme provádět takovou úpravu, která by donutila omezovat def. obor
$(ab)^{\frac{1}{2}}(ab)^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}=(ab)^{\frac{3}{6}}(ab)^{\frac{4}{6}}b^{\frac{4}{6}}$

teď to můžeš dat zpět pod jednu odmocninu a upravit "vnitřek". Jelikož ve výsledku máme sudou odmocninu (šestou), výraz pod odmocninou musí být opět nezáporný (i Tvůj výsledek $\sqrt[6]{a^{7}b^{11}}$ má stejný def. obor, jako na počátku úprav.

inconnu · 15. 10. 2014 22:25

Aha, takhle, tak to potom jo.
Díky.

jelena · 15. 10. 2014 22:41

↑ inconnu:

není za co. V těchto úpravách bylo podstatné se vyhnout $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ . Také se dalo rovnou upravit na stejnou odmocninu $\sqrt[6]{(ab)^3}\sqrt[6]{a^{4}b^{8}}$ a dat pod jednu odmocninu.

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2014 14:46

Výrazy - odmocniny - podmínky

#2 15. 10. 2014 15:01

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#3 15. 10. 2014 15:09

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#4 15. 10. 2014 16:13

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#5 15. 10. 2014 16:23

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#6 15. 10. 2014 16:27

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#7 15. 10. 2014 20:33

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#8 15. 10. 2014 20:41

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#9 15. 10. 2014 21:04 — Editoval jelena (15. 10. 2014 21:37)

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#10 15. 10. 2014 21:15

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#11 15. 10. 2014 21:42 — Editoval jelena (15. 10. 2014 21:52)

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#12 15. 10. 2014 21:45

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#13 15. 10. 2014 21:50

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#14 15. 10. 2014 22:03

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#15 15. 10. 2014 22:23

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#16 15. 10. 2014 22:25

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

#17 15. 10. 2014 22:41

Re: Výrazy - odmocniny - podmínky

Zápatí