Matematické Fórum

Freedy · 15. 10. 2014 23:52

Dobrý večer,

rád bych se dozvěděl o nějakém pěkném postupu jak dokázat nerovnost:
Dokažte, že pro $0<b<a$ platí nerovnost:
$\frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}$
identita ln(a/b) = ln a - ln b je sice hezká, ale nevím jak mi zde pomůže. Díky za Vaše reakce.

Freedy

vanok · 16. 10. 2014 02:40

Ahoj ↑ Freedy:,
Jeden navod.
Pouzi vlasnosti integralu funkcie 1/x.

Freedy · 16. 10. 2014 07:46

Vlastnosti integrálu funkce 1/x? To je samozřejmě ln|x|, ale jaká aplikace? Co máte konkrétně na mysli? Děkuju

vanok · 16. 10. 2014 08:10

Ahoj
Niekolko poznamok:
Pozri tu http://en.m.wikipedia.org/wiki/Integral
Pozorne precitaj paragraf o inequalities.

Ak si trochu studoval pojem integralu ( Riemann-oveho), tak vies aspon nieco o nerovnostiach co sa ich tykaju.

Ake materialy pouzivas na studium tejto temy?

Freedy · 16. 10. 2014 23:58

na článek jsem koukal a bohužel si nedokážu odvodit proč to tak platí. A zatím vůbec nevím ani co použít. Můžu sice zintegrovat prostředek ale jakej to bude mít význam?

vanok · 17. 10. 2014 02:24 — Editoval vanok (17. 10. 2014 10:21)

Jedna cesta k tvojej nerovnosti:
Ak $0<b<a$
Tak mame pre $0<b\le x\le a$ , ze
$0< \frac1a \le \frac 1x \le\frac1b$ .
Preto
$0<\int_{b}^{a} \frac1a dx \le \int_{b}^{a}\frac 1x dx\le\int_{b}^{a}\frac1b dx$

Teraz to snad uz dokoncis sam.(niektory poradcovia by ti povedali urob obrazok a hned uvidis...)

Metologicka poznamka.
Ide o problematiku, ktora je na hranici strednej skoly.
Doporucujem ti prestutovat seriozne a systematicky zaklady analyzy, à co najviac cviceniamy.
Takto nadobudnes dobre automatizmy a zacnes robit hyper pokroky.
( aky material by si na to studium pouzil?)

Dobre pokracovanie.

Freedy · 17. 10. 2014 08:36

Postup jsem udělal následovný, jenže to nevychází:
$[\frac{x}{a}]_{a}^{b}\le [\ln x]_{a}^{b}\le [\frac{x}{b}]^{b}_{a}$
$\frac{b}{a}-1\le \ln b - \ln a\le 1-\frac{a}{b}$
$\frac{b-a}{a}\le \ln \frac{b}{a} \le \frac{b-a}{b}$
$\frac{a-b}{a}\ge \ln \frac{a}{b} \ge \frac{a-b}{b}$ ale znaménka nerovnosti jsou otočeny (+ je tam =) mělo se někde otáčet znaménko? Jak může být b < a a počítat integrál od a do b - tedy od větší hodnoty k menší?

vanok · 17. 10. 2014 10:28 — Editoval vanok (17. 10. 2014 10:32)

$[\frac{x}{a}]_{b}^{a}\le [\ln x]_{b}^{a}\le [\frac{x}{b}]^{b}_{a}$

A to je ok.

Tvoj zapis sa tyka negativnych cisiel, cize mas opacnu nerovnost ako pises. Tu mas $0<b<a$ ... podla tvojho predpokladu na zaciatku.

Edit: male preklepy opravene.

Jenda358 · 17. 10. 2014 11:45

Já bych uvedené nerovnosti dokazoval vyšetřením průběhu funkcí $f(x)=\ln\frac{x}{b}-\frac{x-b}{x}$ a $g(x)=\frac{x-b}{b}-\ln\frac{x}{b}$ , kde $b>0$ je parametr. Stačilo by ukázat, že obě tyto funkce jsou kladné pro $x\in (b;\infty )$ .

vanok · 17. 10. 2014 12:52

Ahoj ↑ Jenda358:,
Mozno stredoskolakom sa to bude zdat jasnejsia metoda, aspon tym, co dobre ovladaju pojem variacii funkcii.
A potom je to pekne moct porovnat viacej metod, co vedu k rieseniu.

vanok · 18. 10. 2014 03:21 — Editoval vanok (18. 10. 2014 03:22)

Poznamka: tvoja nerovnost moze byt pouzita na dokaz, ze $(u_n)$ postupnost definovana pre cele $n > 0$ relaciou
$u_n = 1 + \frac 12 + . . . + \frac1n - \ln n$ je konvergentna.
Mozes to skusit.

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2014 23:52

Nerovnost

#2 16. 10. 2014 02:40

Re: Nerovnost

#3 16. 10. 2014 07:46

Re: Nerovnost

#4 16. 10. 2014 08:10

Re: Nerovnost

#5 16. 10. 2014 23:58

Re: Nerovnost

#6 17. 10. 2014 02:24 — Editoval vanok (17. 10. 2014 10:21)

Re: Nerovnost

#7 17. 10. 2014 08:36

Re: Nerovnost

#8 17. 10. 2014 10:28 — Editoval vanok (17. 10. 2014 10:32)

Re: Nerovnost

#9 17. 10. 2014 11:45

Re: Nerovnost

#10 17. 10. 2014 12:52

Re: Nerovnost

#11 18. 10. 2014 03:21 — Editoval vanok (18. 10. 2014 03:22)

Re: Nerovnost

Zápatí