Matematické Fórum

honzik360 · 15. 10. 2014 21:30

Ahoj potřeboval bych pomoci s určením rovnosti těhle dvou výrazů došel jsem k výrazu výše.
Spodní z něho chci dokázat (neměl bych ho použít pro úpravy).

$\sqrt{2+2cos\ \frac{\pi }{2^{x+1}}}$
=
$2cos\ \frac{\pi }{2^{x+2}}$

Už 2h hledám jestli se to nedá rozložit podle nějaké vzorce, zkouším různé úpravy a nic...

Vidíte v tom něco? :-)

Díky!! :-)

Bati · 15. 10. 2014 21:38

Ahoj ↑ honzik360:.
$1+\cos{y}=1+\cos(2\tfrac{y}2)=1+\cos^2{\tfrac{y}2}-\sin^2{\tfrac{y}2}=2\cos^2{\tfrac{y}2}$ .

Freedy · 15. 10. 2014 21:43

Co třeba toto?
$\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}}=2\cos \frac{\pi }{2^{x+2}}$ >> umocníme obě strany
$2+2\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}=4\cos ^2\frac{\pi }{2^{x+2}}$
$1+\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}=2\cos ^2\frac{\pi }{2^{x+2}}$ (1)

Stačí si uvědomit že platí:
$\cos \frac{\pi }{2^{x+2}}=\cos\frac{(\frac{\pi }{2^{x+1}})}{2}$

proto lze (1) přepsat jako:
$1+\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}=2(\sqrt{\frac{1+\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}}{2}})^2$
po umocnění dostat:
$1+\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}=2\frac{1+\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}}{2}$ a konečným vykrácení:
$1+\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}=1+\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}$
což je dokazovaná rovnost ;)

honzik360 · 16. 10. 2014 10:48

Freedy - paráda! :-) Tohle jsem přesně potřeboval.
Děkuju :-)

jelena · 16. 10. 2014 11:11

Zdravím,

jen pár doplnění:

honzik360 napsal(a):
Spodní z něho chci dokázat (neměl bych ho použít pro úpravy).

to nebylo zcela dodrženo.

Freedy napsal(a):
$\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{2^{x+1}}}=2\cos \frac{\pi }{2^{x+2}}$ >> umocníme obě strany

to není ekvivalentní úprava (a rovnost neplatí pro každé x z R). Souhlasíte?

Spíš bych se přiklonila k doporučení kolegy ↑ Bati: (který se taktně vyhnul poslednímu kroku odmocnění :-) ↑ honzik360: jak znělo původní zadání? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2014 21:30

Důkaz rovnosti

#2 15. 10. 2014 21:38

Re: Důkaz rovnosti

#3 15. 10. 2014 21:43

Re: Důkaz rovnosti

#4 16. 10. 2014 10:48

Re: Důkaz rovnosti

#5 16. 10. 2014 11:11

Re: Důkaz rovnosti

honzik360 napsal(a):

Freedy napsal(a):

Zápatí