Matematické Fórum

Sherlock

$z_{1}z_{2}=0\Leftrightarrow z_{1}=0\vee z_{2}=0$ , kde $z_{1},z_{2}\in \mathbb{C}$

Zkoušel jsem dokazovat toto (zřejmé) tvrzení sporem.

Nechť $z_{1}\not =0,z_{2}\not =0$

dále:
$z_{1}=a+bi$
$z_{2}=c+di$ , kde $a,b,c,d\in \mathbb{R}-\{0\}$

Naše rovnice je: $(a+bi)(c+di)=0$
Po roznásobení: $ac+adi+bci-bd=0$
$ac-bd+(ad+bc)i=0$

Tvrzení platí jen když platí dvojice podmínek:
$ac=bd$
$ad=-bc$

můžeme vydělit rovnice a dostaneme:
$\frac{c}{d}=-\frac{d}{c}$
$c^{2}=-b^{2}$

jediné reálné řešení soustavy je pro $(b,c)=(0,0)$ , což v našem případě nejde, a tím jsem se dostal do sporu.

Je to správně?

vanok · 16. 10. 2014 22:59

Ahoj ↑ Sherlock:,
Ako sa zda pracujes v $\mathbb{C}$ .
To znamena, ze predpokladas vela veci.( ake)
Tak preco chces zokazovat nieco co plati v kazdom telese ?

Alebo som ne pochopil tvoju otazku?

1+1=3 · 17. 10. 2014 20:28

Jak můžeš vidělit rovnice? Tvrzení platí jen když platí dvojice podmínek: tady pod tím, bych to sečetla, vytkla a vzniklo by
ac=bd
ad=-bc
to se dá sečíst
ac+ad=bd-bc
a vytknout
a(c+d)=b(d-c)
a pak už asi nic

misaH · 17. 10. 2014 20:37

↑ 1+1=3:

Prečo by sa rovnice nemohli vydeliť?

Úplne v pohode, podmienky sú splnené.

misaH · 17. 10. 2014 20:39

↑ Sherlock:

$c^{2}=-b^{2}$

Nemá byť $-d^2$ ?

vanok · 18. 10. 2014 03:14

Poznamka:
Opakujem $\mathbb{C}$ pre scitanie a nasobenie je teleso. Tak preco dokazovat, znamu vlasnost, ze v $\mathbb{C}$ nemozeme mat sucin dvoch nenulovych prvkov nulovy.
( ak by to neplatilo, $\mathbb{C}$ by ne mohlo byt teleso...)

Matematické Fórum

#1 16. 10. 2014 20:47 — Editoval Sherlock (16. 10. 2014 20:48)

Důkaz, komplexní čísla

#2 16. 10. 2014 22:59

Re: Důkaz, komplexní čísla

#3 17. 10. 2014 20:28

Re: Důkaz, komplexní čísla

#4 17. 10. 2014 20:37

Re: Důkaz, komplexní čísla

#5 17. 10. 2014 20:39

Re: Důkaz, komplexní čísla

#6 18. 10. 2014 03:14

Re: Důkaz, komplexní čísla

Zápatí