Matematické Fórum

gemat · 16. 10. 2014 20:35 — Editoval gemat (16. 10. 2014 20:35)

Zdravím, prosím o pomoc; nemůžu se nějak dokopat k podobě důkazu, že se jedná o skalární součin:
$AB=tr(A^{T}B)$ , kde A,B jsou matice, tr. stopa

Díky za pomoc!

Bati · 16. 10. 2014 22:12

Ahoj,
musíš využít vlastnosti trasnpozice. Konkrétně na
1) symetrii použiješ $(XY)^T=Y^TX^T$ ,
2) aditivitu použiješ aditivitu transpozice a stopy,
3) homogenitu použiješ homogenitu transpozice a stopy
4) na nezápornost $X:X$ použiješ pozorování, že matice $X^TX$ má diagonální prvky tvořené normami jejích sloupců,
5) vlastnost $X:X=0\Leftrightarrow X=0$ pak plyne z pozorování ve 4) a vlastností normy vektoru.

gemat · 16. 10. 2014 22:56

↑ Bati:
Díky za snahu mi pomoci, ale teď jsem ale ještě více mimo :)

Bati · 16. 10. 2014 23:06

↑ gemat:
Co konkrétně nechápeš?

gemat · 16. 10. 2014 23:23

Nevím, resp. nemohu si vzpomenout, jak to začít rozepisovat ty jednotlivé kroky důkazu (s důkazy mám totiž všeobecně problém, jak ho vidím napsaný, tak je mi to jasné, ale když ho mám vymyslet sám, tak nevím co a jak rozepsat)

vanok · 17. 10. 2014 02:48

Pozdravujem
Len mala poznamka. ↑ gemat: mozes upresnit na akom priestore pracujes. I ked ti kolega ↑ Bati: napisal skoro vsetko, pripomen uplne co je scalarny sucin.

gemat · 17. 10. 2014 07:22 — Editoval gemat (17. 10. 2014 07:25)

↑ vanok:
Pracuje se nad tělesem R,
Zobrazení V×V → T je skalárním součinem, jestliže pro všechna $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ a všechna a $\in T$ platí:

$(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})}, (\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}) = (\mathbf{u},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{w}), (a\,\mathbf{u},\mathbf{v}) = a\,(\mathbf{u},\mathbf{v}), (\mathbf{v},\mathbf{v}) \ge 0 , (\mathbf{v},\mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$

Bati · 17. 10. 2014 12:54

↑ gemat:
Ok, tzn., že v našem případě je $T=\mathbb{R}$ a $V=\mathbb{R}^{n\times n}$ (matice chápeme jako speciální případ vektorů). Ukážu ti např. tu symetrii (operace komplexního sdružení v tomto případě nemá význam, protože jsme v $\mathbb{R}$ ).
$A:B=Tr(A^{T}B)=Tr((B^TA)^T)=Tr(B^TA)=B:A$ .
1. = je z definice toho sk. součinu
2. = je vlastnost transpozice $(XY)^T=Y^TX^T$ a $(X^T)^T=X$ .
3. = je vlastnost stopy $Tr(X)=Tr(X^T)$ (to platí triviálně, pokud máš stopu definovanou jako součet diagonálních prvků, a transpozici, jako překlopení prvků matice, jinak je třeba to dokázat)
4. = je zase jen definice.

Zkus teď sám aditivitu a napiš to sem.

gemat · 17. 10. 2014 14:36 — Editoval gemat (17. 10. 2014 14:37)

Aditivita - takle?
$tr(A+B)^{T}=tr(A^{T}+^{}B^{T} )=trA^{T}+trB^{T}= trB^{T}+trA^{T}=tr(B^{T}+A^{T})=tr(B+A)^{T}$

Bati · 17. 10. 2014 14:39 — Editoval Bati (17. 10. 2014 14:39)

↑ gemat:
Tvoje levá strana se triviálně rovná pravé, takže jsi vlastně nic nedokázal.
Aditivita znamená $(\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}) = (\mathbf{u},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{w})$ , jak jsi sám napsal.

gemat · 17. 10. 2014 14:54 — Editoval gemat (17. 10. 2014 14:55)

Tak takto? :)

$(A+B,C)=tr(C^{T}(A+B))=tr(C^{T}A+C^{T}B)=tr(C^{T}A)+tr(CB)=(A,C)+(B,C)$

gemat · 17. 10. 2014 15:12

A norma by byla, resp. důkaz bodu 4)

$(A,A)=tr(A^{T}A)=\sum_{i=1}^{n}=(A^{T}A)_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}A^{T}_{ij}A_{ji}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A^{2}_{i}j≥0$

gemat · 17. 10. 2014 15:14

A důkaz bodu 4) by byl takto?

$(A,A)=tr(A^{T}A)=\sum_{i=1}^{n}=(A^{T}A)_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}A^{T}_{ij}A_{ji}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A^{2}_{i}j≥0$

gemat · 17. 10. 2014 15:15

A důkaz bodu 4)?
$(A,A)=tr(A^{T}A)=\sum_{i=1}^{n}=(A^{T}A)_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}A^{T}_{ij}A_{ji}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A^{2}_{ij}≥0$

vanok · 18. 10. 2014 00:59 — Editoval vanok (18. 10. 2014 00:59)

Poznamka:
Zhrniem:
na priestore realnych stvorcovych matic mozme definovat rovnostou $<A|B>=tr(A^T.B)$ jeden skalarny sucin.
Naviac mame
$||A||^2=<A|A>=\sum_{i}^{n}\sum_{j}^{n}a_{i,j}^2$

( je uzitocne co najlepsie redigovat, napisat texte problemu, co umozni dat okamzite odpoved na aku asi autor otazky caka)

kompik · 18. 10. 2014 08:18 — Editoval kompik (18. 10. 2014 08:21)

Keď skúsiš dať do googlu inner product trace tak medzi prvými výsledkami nájdeš napríklad toto: http://math.stackexchange.com/questions … er-product

Mne sa vcelku páči trochu iný pohľad na tento skalárny súčin (ktorý som si vôbec neuvedomil kým mi ho niekto neprezradil):
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} b_{11} & \ldots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}$

$AB^T= \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & \ldots & b_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1n} & \dots & b_{nm} \end{pmatrix}=$ $=a_{11}b_{11}+\dots+a_{1n}b_{1n}+a_{21}b_{21}+\dots+a_{2n}b_{2n}+\dots+a_{m1}b_{m1}+\dots+a_{mn}b_{mn}$

To je presne obvyklý skalárny súčin vektorov $(a_{11},\dots,a_{1n},a_{21},\dots,a_{2n},\dots,a_{m1},\dots,a_{mn})$ a $(b_{11},\dots,b_{1n},b_{21},\dots,b_{2n},\dots,b_{m1},\dots,b_{mn})$ .

Čiže sa vlastne rozprávame o obvyklom skalárnom súčine na $\mathbb R^{mn}$ , len prvky nie sú uložené v jedinom riadku, ale sú poukladané to tabuľky s m riadkami a n stĺpcami.