Matematické Fórum

Dr. Manhattan · 18. 10. 2014 09:38

Zdravím,
potřeboval bych pomoc se třemi příklady. Bohužel nevím, jak se počítají, ve škole jsem na tom chyběl. Tohle je opakování na písemku a rád bych to na tom pochopil. Vždy mi tu skvěle pomůžete.

1) $|z+i|<|z-1|$

2) $|1+i|\ge |z|>\frac{1}{2}$

3) $|\frac{\bar{z}}{|z|}+|z||<2$

U toho třetího nevím, jak udělat, aby značení abs. hodnoty bylo větší, jelikož pokrývá zlomek i +|z|, ale je to prostě jedna velká.

Potřeboval bych je mít vypočítané všechny, ale zároveň bych to samozřejmě rád chápal. Vždy mi to tu vysvětlíte nejlépe. Předem díky moc za pomoc.

Vašek · 18. 10. 2014 10:39

Ahoj. vzhledem k tomu, že absolutní hodnota je nezáporné číslo, můžeš rovnice umocnit na 2 a bude to ekvivalentní úprava. To myslím by ti mělo stačit.

Dr. Manhattan · 18. 10. 2014 11:35

Aha, zjistil jsem, že jde asi o geometrické vyjádření a výsledek má být nějaký kruh nebo tak, je to možné? Máte s tím někdo zkušenost? To už vůbec nevím. Díky.

Jj · 18. 10. 2014 11:45 — Editoval Jj (18. 10. 2014 11:47)

↑ Dr. Manhattan:

Dobrý den.
Komplexní rovnice/nerovnice jsem sice nikdy pořádně neuměl, ale řekl bych, že umocňování nepomůže (mezi komplexními čísly nejsou definovány relace '<' nebo '>', jen mezi jejich absolutními hodnotami).
Spíše asi

ad 1)

$|z+i|<|z-1|$
$|x+i(y+1)|<|(x-1)+yi|$
$\sqrt{x^2+(y+1)^2}<\sqrt{(x-1)^2+y^2}$
$x^2+(y+1)^2<(x-1)^2+y^2$
$x^2+y^2 +2y+1<x^2-2x+1+y^2$
$x+y<0$

Ale zcela jistý si tím nejsem.

Třetí příklad viz Odkaz

Edit: opraven odkaz

Jj · 18. 10. 2014 11:57 — Editoval Jj (18. 10. 2014 12:07)

↑ Dr. Manhattan:

Vlastně, když píšete o kružnicích, tak první příklad:

$|z+i|=r_1$ je kružnice v bodě $z_1(0,-i)$ o poloměru r1,
$|z-1|=r_2$ je kružnice v bodě $z_2(1,0)$

Takže vyhovují body, Gaussovy roviny, pro něž je r_1 < r_2. Hraniční množinou jsou body, pro něž r_1 = r_2, což je (uděláte-li si obrázek) v kartézské soustavě přímka y = -x. Body pod touto přímkou budou vyhovovat původní nerovnici, tzn. bude stejné řešení, jako jsem uvedl. Jen postup je 'chytřejší' a vůbec mě nenapadl.

Ještě poznámka:

body na přímce y = x do řešení nepatří.

Obecně: $|z-z_0|=r$ je v Gaussově rovině rovnicí kružnice se středem v bodě z_0 s poloměrem r.

Jj · 18. 10. 2014 12:24 — Editoval Jj (18. 10. 2014 12:29)

↑ Jj:

K druhému příkladu:

$|1+i|\ge |z|>\frac{1}{2}$

$|1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Tudíž
$|z| \le \sqrt{2}$ a $|z|>\frac{1}{2}$

Přitom $|z|=|z-0|=r$ je v Gaussově rovině rovnicí kružnice se středem v počátku o poloměru r.

Takže bych řekl, že řešením bude mezikruží mezi kružnicí $|z|=\frac{1}{2}$ a kružnicí $|z| = \sqrt{2}$ , přitom samotné body menší kružnice do řešení nepatří.

A ještě jedna poznámka: Velký znak absolutní hodnoty ve 2. příkladě zapíšete takto:

\left|\frac{\bar{z}}{|z|}+|z|\right|<2 mezi dolary dá $\left|\frac{\bar{z}}{|z|}+|z|\right|<2$

Dr. Manhattan · 18. 10. 2014 12:30

Aha, já teď zjistil, že zadání je trochu specifické:
Určete obraz oboru pravdivosti daných rovnic a nerovnic (řešte graficky)

Například u příkladu $|z-3|\le 2$ byl výsledek: kruh k (S[3,0], r=2) a k tomu obrázek.

Tahle látka mi vůbec nejde. Děkuji mockrát za pomoc, trochu chápu to, co jste mi napsal, ale stále nevím, jak to zakreslit.
Děkuji za trpělivost. Jak pak popř. z ostatních příkladů, u kterých budu mít třeba výsledek zjistím obraz oboru pravděpodobnosti?

Jj · 18. 10. 2014 12:42

↑ Dr. Manhattan:

Co je obraz oboru pravdivosti nevím - snad množina bodů, které rovnici/nerovnici vyhovují.

Nerovnici $|z-3|\le 2$ vyhovují všechny body kruhu v Gaussově rovině se středem v bodě (3,0i) o poloměru r = 2 (včetně bodů hraniční kružnice - neostrá nerovnost). Takže asi nakreslit v Gaussově rovině tento kruh (asi ho třeba vyšrafovat nebo vybarvit nebo něco, ať je zřejmé, že jde o všechny body tohoto kruhu).

Dr. Manhattan · 18. 10. 2014 12:50

Kruh jsem nakreslil a jsem si jist, že to je správně. Díky moc. Jak to obdobně udělám u ostatních? Předem opět děkuji.

Jj · 18. 10. 2014 14:18

↑ Dr. Manhattan:

U druhého příkladu podobně - zakreslit a vyznačit příslušné mezikruží (bez vyznačení bodů vnitřní kružnice, třeba udělat čárkovaně a pod).

Dr. Manhattan · 18. 10. 2014 14:54

Jak určím střed u druhého příkladu? A u toho prvního to zakreslím jak (co udělám s tím i)? U třetího se úplně ztrácím. Pro upřesnění, z matiky nemám zrovna nejlepší známky (spíše trojky/čtyřky na gymnaziu), jsem zaměřený spíše humanitním směrem. Nejvíce by mi pomohlo to, jak jste mi napsal co přesně nakreslit u toho vzorového příkladu, který jsem sem dal i z výsledkem. Až před sebou na papíře jsem to teprve začal trochu chápat. Nevidím tam tu spojitost mezi výsledkem a zakreslením té množiny vyhovujících bodů, prostě jak to dát dohromady a kde dát střed. Mockrát děkuji za pomoc, nevím co bych bez tohoto fóra dělal.

Jj · 18. 10. 2014 14:59

Snad později.

misaH · 18. 10. 2014 16:23 — Editoval misaH (18. 10. 2014 16:25)

↑ Dr. Manhattan:

K úlohe 2:

Jj (zdravím☺) napísal niečo, čo sa začína

Přitom...

Tam máš presne vypísaný stred aj polomer.

Dr. Manhattan · 19. 10. 2014 12:39

Takže počátek bude na nule a kružnici zakreslím od $\frac{1}{2}$ do $\sqrt{2}$ s tím, že ta $\frac{1}{2}$ třeba čárkovaně? A jak na ose znázorním $\sqrt{2}$ ? Někde přibližně u 1,4? Jinak díky za pomoc.
Ale nevím, jak se poradit s tím prvním příkladem - jak zakreslit i. A v třetím příkladu mám zmatek úplný.
Díky za trpělivost a pomoc.

misaH · 19. 10. 2014 13:20

↑ Dr. Manhattan:

Odmocnina z 2 je uhlopriečka štvorca so stranou dĺžky 1 (dielik, v ktorom máš znázornené číslo 1).

Jj · 19. 10. 2014 16:25

↑ Dr. Manhattan:

1. Příklad

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2. Příklad

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Řešením jsou všechny body v mezikruží kruhů se středem v počátku a poloměry 1/2 a \sqrt{2}. Body menší kružnice do řešení nepatří. Řešení je označeno červeně.

3. Příklad - výsledek: |z+1|<2 --> podobně jako tady ↑ Dr. Manhattan:, kruh se středem v bodě (-1,0i), poloměr = 2, do výsledku nepatří body samotné kružnice |z+1|=2.

Dr. Manhattan · 19. 10. 2014 17:01

Mockrát díky! Sednu na to k večeru a všechno si pořádně projdu. Kdybych něco nechápal, tak bych se ještě ozval, jestli nevadí. Pěkný den (dám reputaci za ochotu a úžasný přístup).

Dr. Manhattan · 19. 10. 2014 22:42

Můžu se ještě jen zeptat, jak funguje tohle $|1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ ? Proč to tak je?
Jinak u prvního obrázku mělo být u z1 (1,0i), že ano? Jen si ověřuju, že to chápu správně. Všechno mi to začíná dávat smysl, což je super! Díky.

Jj · 20. 10. 2014 08:16

↑ Dr. Manhattan:

Ano, u souřadnice z1 na obrázku mám překlep.

Absolutní hodnota komplexního čísla z = x + iy je definována takto:

$|z| = |x + iy| = \sqrt{x^2+y^2}$

Takže

$|1+i|=|1+1\cdot i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Dr. Manhattan · 20. 10. 2014 20:02

Vše jsem pochopil na 100%, dostal jsem jedničku a mám z toho skvělý pocit, ještě jednou díky moc za pomoc!

Jj · 20. 10. 2014 20:06

↑ Dr. Manhattan:

:)

misaH · 20. 10. 2014 20:28

↑ Dr. Manhattan:

:-)

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2014 09:38

Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#2 18. 10. 2014 10:39

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#3 18. 10. 2014 11:35

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#4 18. 10. 2014 11:45 — Editoval Jj (18. 10. 2014 11:47)

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#5 18. 10. 2014 11:57 — Editoval Jj (18. 10. 2014 12:07)

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#6 18. 10. 2014 12:24 — Editoval Jj (18. 10. 2014 12:29)

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#7 18. 10. 2014 12:30

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#8 18. 10. 2014 12:42

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#9 18. 10. 2014 12:50

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#10 18. 10. 2014 14:18

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#11 18. 10. 2014 14:54

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#12 18. 10. 2014 14:59

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#13 18. 10. 2014 16:23 — Editoval misaH (18. 10. 2014 16:25)

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#14 19. 10. 2014 12:39

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#15 19. 10. 2014 13:20

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#16 19. 10. 2014 16:25

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#17 19. 10. 2014 17:01

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#18 19. 10. 2014 22:42

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#19 20. 10. 2014 08:16

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#20 20. 10. 2014 20:02

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#21 20. 10. 2014 20:06

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

#22 20. 10. 2014 20:28

Re: Rovnice s komplexními čísly v absolutní hodnotě

Zápatí