Matematické Fórum

Argcotgh x · 18. 10. 2014 16:59

Ahoj,

mohli byste mi, prosím, zkontrolovat řešení tohoto příkladu? Díky moc.

Příklad

Určete průnik podprostorů

V1 = {(x1, x2, x3, x4), x1 + 2 x2 - x3 = 0 a x1 - x2 + 2 x4 = 0}

V2 = {(x1, x2, x3, x4), x3 + x4 = 0 a x1 + 5 x2 - x3 -x4 = 0}

v R^4.

Úvaha:
Musí platit obě dvojice rovnic současně, tj.

x1 + 2 x2 - x3 = 0
x1 - x2 + 2 x4 = 0
x3 + x4 = 0
x1 + 5 x2 - x3 -x4 = 0

Zapsáno v matici

(1, 2, -1, 0)
(1, -1, 0, 2)
(0, 0, 1, 1)
(1, 5, -1,-1)

Po Gaussově eliminaci získáme

(1, 2, -1, 0)
(0, 3, 0,-1)
(0, 0, 1, 1)
(0, 0, 1, 1)
tj. 3. a 4. řádek jsou lineárně závislé. Proto

(1, 2, -1, 0)
(0, 3, 0,-1)
(0, 0, 1, 1)

4., nepivotní sloupec označíme jako parametr t a x1, x2, x3, pomocí něj vyjádříme:

x4 = t
x3 = - t
x2 = t/3
x1 = t - 2* t/3 = t/3

Tj. průnikem je {(t/3, t/3, -t, t), t je z R}

ale nevím, co to vlastně je, zda je to podprostor nebo něco jiného.

vanok · 18. 10. 2014 17:19

Ahoj
Popis podrobne ako si robil GE.

Argcotgh x · 18. 10. 2014 17:42

Ahoj,

Gaussova eliminace

(1, 2, -1, 0)
(1, -1, 0, 2)
(0, 0, 1, 1)
(1, 5, -1,-1)

(-1) násobek 1.řádku přičtu k 2. a 4. řádku:

(1, 2, -1, 0)
(0, -3, 1, 2)
(0, 0, 1, 1)
(0, 3, 0,-1)

2.řádek přičtu k 4.řádku:

(1, 2, -1, 0)
(0, -3, 1, 2)
(0, 0, 1, 1)
(0, 0, 1, 1)

a dostávám 3.a 4. řádek lineárně závislý.

Argcotgh x · 18. 10. 2014 17:58

Aha, už tam vidím chybu - 2.řádek teď vyšel jinak

takže by to asi mělo správně být

x4 = t
x3 = t
x2 = -2/3 t + 1/3
a
x1 - 4/3 t + 2/3 - t = 0,
x1 = -7/3 t + 2/3

nebo bez zlomků

x4 = 3t
x3 = 3t
x2 = -2t + 1
x1 = -7t + 2

vanok · 18. 10. 2014 18:34 — Editoval vanok (18. 10. 2014 18:37)

Ked polozis x4= t, potom x3=-t.....
GE je ok, ale napis pre instotu system co mas na konci a tak iste najdes chyby co si porobil.
Staci?

Argcotgh x · 18. 10. 2014 18:54

Takže to bude

x4 = t
x3 = -t

-3 x2 + x3 = - 2t
-3 x2 - t = - 2t
-3 x2 = -t
x2 = t/3

x1 + 2 x2 - x3 = 0
x1 + 2/3 t - (-t) = 0
x1 + 2/3 t + t = 0
x1 + 5/3 t = 0
x1 = - 5/3 t

nebo
x4 = 3t
x3 = - 3t
x2 = t
x1 = - 5t

vanok · 18. 10. 2014 19:41

↑ Argcotgh x:,
V tej verzi bez zlomkovi, pis skor s, miesto t, vsak matematicky s= 3t.

Ale teraz najdolezitejsia otazka, pises, ze hladas prienik V1,V2.
Vsetko co si zatial urobil ma s tym suvis?

Argcotgh x · 18. 10. 2014 20:09

Právě že se snažím najít průnik těch 2 podprostorů a chápu to tak, že se snažím najít x1, x2, x3, x4, která splňují podmínky obou podprostorů. Ale nevím, co tím průnikem je, jestli je to taky podprostor. A taky si nejsem jistý tou parametrizací.

vanok · 18. 10. 2014 20:51

Vsak staci urobit skusku.
Odpoved je jednoducha.
V1, V2 su urcene podmienkamy...
Ostava ti urcit bazu toho prieseku.
(Osobne pisem z casu otazky, a ak niekto dobre nerozumie co robi moze byt zaskoceny...)

Inac, ak by dane priestory boli urcene ich bazamy, tak by tolo trochu komplikovanejsie.

Argcotgh x · 19. 10. 2014 18:42

Ahoj všichni,

příklady byly právě uznány za plný počet bodů.

Čímž vám všem moc děkuji za pomoc, kterou jste mi věnovali.

Mějte se všichni fajn!

Argcotgh x.

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2014 16:59

Průnik dvou vektorových podprostorů

#2 18. 10. 2014 17:19

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

#3 18. 10. 2014 17:42

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

#4 18. 10. 2014 17:58

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

#5 18. 10. 2014 18:34 — Editoval vanok (18. 10. 2014 18:37)

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

#6 18. 10. 2014 18:54

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

#7 18. 10. 2014 19:41

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

#8 18. 10. 2014 20:09

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

#9 18. 10. 2014 20:51

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

#10 19. 10. 2014 18:42

Re: Průnik dvou vektorových podprostorů

Zápatí