Matematické Fórum

Argcotgh x · 18. 10. 2014 20:24

Ahoj, mohl bych vás poprosit o radu s dokončením následujícího příkladu? Nevím, kde by ještě mohla být chyba.

Zadání:

Pro která λ náležející R se vektor (1,0,0) nachází ve spojení podprostorů V1 = <(1,2,1)> a V2 = <(0,1,2), (2,1,λ)> v R^3 ?

Úvaha:

Musí existovat x,y,z náležející R tak, aby

x*(1) + y*(0) + z*(2) = (1)
(2) (1) (1) (0)
(1) (2) (λ) (0)

(ty závorky pod sebou znamenají sloupcový vektor)

To nastane, když je řešitelná soustava s rozšířenou maticí

(1, 0, 2, | 1)
(2, 1, 1, | 0)
(1, 2, λ, | 0)

Provedeme Gaussovu eliminaci

(-2)-násobek 1.řádku přičteme k 2.řádku

(1, 0, 2, | 1)
(0, 1,-3, | -2)
(1, 2, λ, | 0)

(-1)-násobek 1.řádku přičteme ke 3.řádku

(1, 0, 2, | 1)
(0, 1, -3, | -2)
(0, 2, λ-2,| -1)

(-2)-násobek 2.řádku přičteme ke 3.řádku

(1, 0, 2, | 1)
(0, 1, -3, | -2)
(0, 0, λ+4,| 3)

Upravíme 3.řádek

(1, 0, 2, | 1)
(0, 1, -3, | -2)
(0, 0, λ+1,| 0)

Odtud vyplývá, že soustava je řešitelná pro λ = - 1

Soustavu lze také zapsat

(1, 0, 2, | 1)
(0, 1,-3, | -2)
(0, 0, λ, | -1)

Poslední sloupec je nepivotní – měl by tedy sloužit jako parametr t a pomocí něj vyjádřit x, y, z.

Nedaří se mi však najít parametrizaci takovou, aby platilo

x*(1) + y*(0) + z*(2) = (1)
(2) (1) (1) (0)
(1) (2) (λ= -1) (0)

Pokud už se nějaká parametrizace najde, tak nevyhovuje rovnici pro 3.složku, tj. x*1 + y*2 +z*(-1) = 0.

Kde může být ještě chyba?

jelena · 18. 10. 2014 21:56

Večerní pozdrav,

(0, 0, λ+4,| 3)

znamená $(\lambda+4)x_3=3$ , tedy odsud už nemůžeš jen přehodit 3 napravo, aby vznikla napravo 0. Další úpravy potom plynou z Tvé "nedobré" úpravy, tedy na tomto řádku končíme. Buď již při sestavení předpokladů pro hledání "lambdy" není dobrý postup, nebo v něčem jiném (0 napravo vyrobit v předchozích úpravách, ale povoleným způsobem). Ale konkrétně tuto úpravu vidíš také tak "nedobře", jak jsem napsala? Děkuji.

Argcotgh x · 18. 10. 2014 22:10

Ahoj, díky, v tom to asi bude, pokud tam není ještě nějaká chyba/chyby.

jelena · 19. 10. 2014 00:04

↑ Argcotgh x:

pokud už není jiná chyba, tak toto $(\lambda+4)x_3=3$ bychom mohli uzavřít, že platí pro každé $\lambda\neq -4$ (ale raději to ještě projdi od začátku, prosím).

Argcotgh x · 19. 10. 2014 10:28

Aha, jasně, pro lambda = (-4) bychom dostali 0*x = 3.

Mohl bych ještě poprosit, pomoct s tou parametrizací? Nevím, jakou hodnotu tam teď dosadit za lambda, když to vlastně může být jakékoli číslo kromě (-4).

Dík!

jelena · 19. 10. 2014 10:37

↑ Argcotgh x:

také děkuji, potom ale není co parametrizovat - nemáme žádný řádek lineárně závislý. Úlohou ale bylo "Pro která λ náležející R se vektor...", tak to, předpokládám je vyřešeno. Souhlasíš?

Argcotgh x · 19. 10. 2014 10:54

Ono jde ještě o to, určit z té matice x,y,z tak, aby platil původní předpoklad:

x*(1) + y*(0) + z*(2) = (1)
(2) (1) (1) (0)
(1) (2) (λ) (0)

a když mám v 3.řádku, pro z, (lambda - 4)*x3 = 3, tak nevím, co dosadit za lambda.

jelena · 19. 10. 2014 11:03

↑ Argcotgh x:

můžeš za "lambda" dosadit cokoliv, jen nemůžeš dosadit -4 (pokud nemáme chybu v předchozích krocích).

(lambda - 4)*x3 = 3

(nebylo +?) (lambda + 4)*x3 = 3

Argcotgh x · 19. 10. 2014 11:08

Ano, bylo (lambda + 4)*x3 = 3, spletl jsem se ve znaménku.

Argcotgh x · 19. 10. 2014 11:43

Možná že jsem na to přišel:

(1, 0, 2, | 1)
(0, 1, -3, | -2)
(0, 0, λ+4,| 3)

Zvolíme λ = -1,

3 z = 3,
z = 1,

y - 3*1 = -2,
y - 3 = - 2,
y = 1,

x + 2*z = 1
x + 2 = 1
x = - 1

a po dosazení do

x*(1) + y*(0) + z*(2) = (1)
(2) (1) (1) (0)
(1) (2) (λ=(-1)) (0)

krásně vychází

(-1)*1 + 0*0 + 1*2 = 1

(-1)*2 + 1*1 + 1*1 = 0

(-1)*1 + 2*1 + 1*(-1) = 0

Tedy

vektor (1,0,0) se nachází ve spojení podprostorů

V1 = <(1,2,1)> a V2 = <(0,1,2),(2,1,λ)>

právě tehdy, když λ se NErovná (-4)

a pro koeficienty (x,y,z)

vychází (x,y,z) = ((-1), 1, 1).

Možná je to skutečně správný výsledek.

misaH · 19. 10. 2014 11:55 — Editoval misaH (19. 10. 2014 12:27)

↑ Argcotgh x:

Ahoj.

Môžeš dosadiť hocičo okrem -4.

Akonáhle zvolíš lambdu, vyjde Ti jedna trojica koeficientov. Keď zvolíš inú lambdu, vznikne po dosadení iná trojica koeficientov, tiež správna.

Nedávala by som koeficienty x, y, z, radšej a, b, c, aby sa nemýlili so súradnicami (x, y, z).

Riešenie dostaneš postupným vyjadrením riešenia sústavy. Najprv vyjde koeficient c, dosadíš ho do predchádzajúcej rovnice pre b a potom obe dosadíš do (prvej) rovnice pre a.

Vyšlo mi pre koeficienty pri vektoroch (ak som sa nepomýlila, princíp je správny)

$\lambda\ne {-4}$ :

$(a; b; c)=$1-\frac {6}{4+\lambda};\frac {9}{4+\lambda}-2;\frac {3}{4+\lambda}$$

Kontrolovala som len pre $\lambda=0$ .

jelena · 19. 10. 2014 12:46

↑ Argcotgh x:

V této úloze je třeba odlišit 2 fáze:

a) řešitelnost soustavy rovnic (neznámé x, y, z) vzhledem k parametru $\lambda$

Musí existovat x,y,z náležející R tak, aby

x*(1) + y*(0) + z*(2) = (1)
(2) (1) (1) (0)
(1) (2) (λ) (0)

tato soustava mohla mít právě jedno řešení, nekonečně mnoho nebo žádné ("nebo žádné" musíme vyloučit takové hodnoty parametru $\lambda$ , pro které soustava nemá řešení (tedy by vycházeno "nenula"=0, korektně - viz Frobeniova věta). Pokud jsme neměli chybu v úpravách, tak soustava neměla řešení pro $\lambda=4$ . To jsme vyloučili a potom soustava měla jen jedno řešení.

b) nenutná fáze - zápis příkladu řešení soustavy (podstatné bylo splnit bod a).

K bodu a) Pokud bychom dostali $(\lambda+4)z=0$ nebo něco obdobného, tedy jeden řádek by se nuloval pro určitou hodnotu parametru, potom bys měl potřebu zavádět parametr, jako $z=t$ (jak jsi se pokoušel v jiném tématu s překlepy). Tato parametrizace už ale nebyla spojována s vyšetřením hodnot parametru $\lambda$ (jelikož soustava řešení má), ale se zápisem řešení soustavy, těchto řešení by bylo nekonečně mnoho.

Možná že jsem na to přišel:

to jsi našel jeden příklad řešení $[x,z,y]$ . Je jasný ten rozdíl? Ještě poznámka k vyšetření řešitelnosti - pokud jste brali Cramer. pravidlo, potom se mi zdá vyšetření nenulovosti/nulovosti D méně náchylné na chyby úprav (jak jsme viděli v tomto tématu).

misaH · 19. 10. 2014 12:51

↑ jelena:

$\lambda=-4$

Argcotgh x · 19. 10. 2014 13:38

Zkusil jsem Cramerovo pravidlo:

(1, 0, 2, | 1)
(2, 1, 1, | 0)
(1, 2, λ, | 0)

D =

(1, 0, 2)
det (2, 1, 1)
(1, 2, λ)

podle Sarrusova pravidla

(1, 0, 2)
(2, 1, 1) = λ + 8 + 0 - 2 -2 - 0 = λ + 4
(1, 2, λ)
1, 0, 2
2, 1, 1

Dx: 1.sloupec nahradíme pravou stranou

(1, 0, 2)
Dx = det (0, 1, 1)
(0, 2, λ),

(1, 0, 2)
(0, 1, 1) = λ + 0 + 0 - 0 -2 - 0 = λ - 2
(0, 2, λ)
1, 0, 2
0, 1, 1

Dy: 2.sloupec nahradíme pravou stranou

Dy = det (1, 1, 2)
(2, 0, 1) =
(1, 0, λ)

(1, 1, 2)
(2, 0, 1) = 0 + 0 + 1 - 0 - 0 - 2λ = - 2λ + 1
(1, 0, λ)
1, 1, 2
2, 0, 1

Dz: 3.sloupec nahradíme pravou stranou

(1, 0, 1)
Dz = det (2, 1, 0) =
(1, 2, 0)

(1, 0, 1)
(2, 1, 0) = 0 + 4 + 0 - 1 - 0 - 0 = 3
(1, 2, 0)
1, 0, 1
2, 1, 0

x = Dx / D = (λ - 2) / (λ + 4)

y = Dy / D = (- 2λ + 1) / (λ + 4)

z = Dz / D = 3 / (λ + 4)

Vzhledem k členu (λ + 4) ve jmenovateli se λ nemůže rovnat (-4).

Ale nezdá se mi to vyjádření x,y,z (resp. a,b,c) pomocí λ.

vanok · 19. 10. 2014 13:55

Ahoj ↑ Argcotgh x:,
Poznamka:
Toto je cvicenie, typu parametricke rovnice, pre kazde $\lambda$ , cvicenie ma alebo nema riesenie.
V zlozitejsich problemoch sa niekedy presentuje syntesa, pomocou tabuliek.

misaH · 19. 10. 2014 13:58 — Editoval misaH (19. 10. 2014 17:18)

↑ Argcotgh x:

Dá sa to dosadiť, či je to riešením.

Vyšlo Ti to presne tak, ako mne pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.

A prečo si volil koeficienty x, y, z?

jelena · 19. 10. 2014 14:06

Zdravím,

↑ vanok: ano, děkuji - to se pokouším kolegovi zdůraznit, že vyjádření x, y, z není tak podstatné (může být z cvičných důvodů), ale podstatné je rozvor řešitelnosti soustavy rovnic s parametrem.

Technika - jak použil kolega GE, nebo i ↑ příspěvek 14:, ale podstatné je vyšetřit nenulovost determinantu

D =

(1, 0, 2)
det (2, 1, 1)
(1, 2, λ)

Případně jiná technika ověření, ale kolega se musí zorientovat v podstatě úlohy. Tak doufám, že se podaří.

misaH · 19. 10. 2014 14:25 — Editoval misaH (19. 10. 2014 17:17)

↑ Argcotgh x:

Jelena sa Ti snaží vysvetliť, že ak máš iba odpovedať na otázku zo zadania, stačí zistiť, pre ktorú hodnotu lambda má sústava riešenie. Nič iné netreba.
Ak je úloha aj o tom, ako vyzerajú koeficienty pri zadaných vektoroch také, že (1,0,0) sa vyskytuje, (v zadaní si to nemal), tak treba aj riešiť vzniknutú sústavu v závislosti od lambda (to je tá "moja" alebo "Tvoja" trojica obsahujúca lambdu).

Argcotgh x · 19. 10. 2014 14:32

Ono jde ještě o to, aby ten příklad byl uznán "bez důkazu". Taky to zpětné dosazení je určitá kontrola. Ale jinak by asi odpověď "pro všechna lambda kromě (-4)" měla být uznána.

Argcotgh x · 19. 10. 2014 18:41

Ahoj všichni,

příklady byly právě uznány za plný počet bodů.

Čímž vám všem moc děkuji za pomoc, kterou jste mi věnovali.

Mějte se všichni fajn!

Argcotgh x.

misaH · 19. 10. 2014 18:43

↑ Argcotgh x:

:-)

jelena · 20. 10. 2014 12:48

↑ Argcotgh x:

děkuji za zprávu. Snad jen doplnění k tomu: "Ono jde ještě o to, aby ten příklad byl uznán "bez důkazu". Taky to zpětné dosazení je určitá kontrola." Tuto úlohu bych nepovažovala za důkazovou, jelikož pro úvodní úvahu "Úvaha: Musí existovat x,y,z náležející R tak, aby..." již používáš předpoklad dokázaný dřív (jinak by tato úvaha byla "na vodě") a úloha sleduje spíš technické použití platného předpokladu.

Ať se vede i nadále.

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2014 20:24

Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#2 18. 10. 2014 21:56

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#3 18. 10. 2014 22:10

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#4 19. 10. 2014 00:04

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#5 19. 10. 2014 10:28

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#6 19. 10. 2014 10:37

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#7 19. 10. 2014 10:54

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#8 19. 10. 2014 11:03

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#9 19. 10. 2014 11:08

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#10 19. 10. 2014 11:43

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#11 19. 10. 2014 11:55 — Editoval misaH (19. 10. 2014 12:27)

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#12 19. 10. 2014 12:46

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#13 19. 10. 2014 12:51

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#14 19. 10. 2014 13:38

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#15 19. 10. 2014 13:55

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#16 19. 10. 2014 13:58 — Editoval misaH (19. 10. 2014 17:18)

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#17 19. 10. 2014 14:06

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#18 19. 10. 2014 14:25 — Editoval misaH (19. 10. 2014 17:17)

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#19 19. 10. 2014 14:32

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#20 19. 10. 2014 18:41

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#21 19. 10. 2014 18:43

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

#22 20. 10. 2014 12:48

Re: Vektor nacházející se ve spojení vektorových podprostorů

Zápatí