Matematické Fórum

Kdosi · 19. 10. 2014 22:50

Zdravím, chtěl bych Vás požádat o kontrolu mého důkazu. Pro všechny limita platí, že $n\to\infty$ , nebutu to proto vypisovat.
Je dána $\lim{a_n}=a, \lim{b_n}=b$ . Dokažte, že $\lim{(a_n+b_n)}=a+b$ .
Položme $\gamma =\frac{1}{2}\varepsilon$ . Platí, $|a_n-a|<\gamma$ a také, že $|b_n-b|<\gamma$ .
Součtem těchto dvou rovnic dostáváme
$|a_n-a|+|b_n-b|<2\gamma$
$|a_n-a|+|b_n-b|\ge|a_n-a+b_n-b|=|a_n+b_n-(a+b)| <2\gamma=\epsilon$
Což je totožné s dokazovaným výrazem.
Jde mi hlavně od drobné chyby (pokud tam tedy nejsou i nějaké větší :) ), jde mi o to, aby to bylo prostě úplně korektní, přesné, matematické a né jen tak od oka správně, děkuji za Váš čas :)

Rumburak

↑ Kdosi:

Ahoj. Bohužel to nemáš dobře. Nastíním běžný postup.

A. Předpokládejme, že obě limity $a, b$ jsou konečná čísla (a ne $+\infty , -\infty$ ).

Jádro důkazu:

Výrok $\lim (a_n +b_n)= a + b$ je podle definice vlastní limity ekvivalentní s výrokrm

k libovolnému $\varepsilon > 0$ existuje (konečné) číslo $K(\varepsilon)$ takové, že pro každé přirozené číslo $n > K(\varepsilon)$ platí

(1) $|(a_n +b_n)- (a +b)|< \varepsilon$ .

Platnost tohoto výroku máme dokázat.

Nápověda:

Začneme tím, že přijmeme předpoklad $\varepsilon > 0$ . Pak ale také bude $\gamma =\frac{1}{2}\varepsilon > 0$ , takže - opět podle definice
vlastní limity - ze vztahů $\lim{a_n}=a, \lim{b_n}=b$ vyplývá existence (konečných) čísel $K_a(\gamma) , K_b(\gamma)$
takových, že:

- pro každé přirozené číslo $n > K_a(\gamma)$ je $|a_n - a|< \gamma$ ,

- pro každé přirozené číslo $n > K_b(\gamma)$ je $|b_n - b|< \gamma$ .

Nyní položíme $K(\varepsilon) = \max\{K_a(\gamma) , K_b(\gamma)\}$ a ukážeme, že pro každé přirozené číslo $n > K(\varepsilon)$
platí (1).

B. Pokud jste probírali nevlastní limity a operace se symboly $\pm \infty$ (tzv. nevlastními čísly), pak lze říci, že
věta o limitě součtu platí i pro případy, kdy některá z limit $a, b$ je nevlastní - mimo případ, když by šlo
o nekonečna lišící se znaménkem. Důkaz by pak pol poněkud jiný - podle jednotlivých případů.

Kdosi · 20. 10. 2014 11:14 — Editoval Kdosi (20. 10. 2014 11:19)

↑ Rumburak:
Děkuji za reakci. Myslím, že to chápu, doma dokončím a pošlu můj postup, jen mám ještě nějaké otázky:
1) Jakto, že pro $n > K_a(\gamma)$ je $|a_n - a|< \varepsilon$ . Jakto, že to můžeme říct, jaksi intuitivně mi to říká, že můžeme říct jen $|a_n - a|< \gamma$ , protože $\epsilon$ je přeci menší než $\gamma$ ...podobně u $n > K_b(\gamma)$ .
2) V čem přesně je tedy ta nepřesnost/chyba v mém prvním pokusu..je to tím, že neuvažuji různá $K(\gamma) , K_b(\gamma)$ ?

Rumburak

↑ Kdosi:

Ano, chtěj jsem napsat $|a_n - a|< \gamma$ , $|b_n - b|< \gamma$ , ale při kopírování z (1) jsem to opomněl opravit.
Nyní již opraveno (pardon).

Chtělo by to poněkud vybrousit přesnost a podrobněji komentovat logiku postupu.

- Odkud se vzalo číslo $\varepsilon$ ?

- Píšeš $|a_n-a|<\gamma$ , $|b_n-b|<\gamma$ , ale nepíšeš pro která $n$ (jistě ne pro všechna : pokud by
tyto nerovnosti platily pro každé přirozené číslo při libovolném $\gamma > 0$ , pak by šlo o posloupnosti konstantní).

- Místo nerovnice

$|a_n-a|+|b_n-b|\ge|a_n-a+b_n-b|=|a_n+b_n-(a+b)| <2\gamma=\epsilon$

jsi asi chtěl napsat

$|(a_n+b_n)-(a+b)| = |(a_n-a)+(b_n-b)| \le |a_n-a|+|b_n-b| < 2\gamma=\varepsilon$ .

Ale opět nepíšeš nic o oboru její platnosti.

Principem důkazu je ukázat, že k libovolnému $\varepsilon > 0$ existuje číslo $K(\varepsilon)$ s vlastnostmi uvedenými
v mém předchozím příspěvku. Jak jsi takové číslo nalezl resp. jak jsi existenci takového čísla dokázal ?

Kdosi · 21. 10. 2014 22:31

\Rumburak[/re]
Dobře, děkuji za připomínky, o to mi v podstatě jde, vybrousit přesnost :)
Takže znovu:
Je dána $\lim{a_n}=a, \lim{b_n}=b$ . Dokažte $\lim{(a_n+b_n)}=a+b$ .
Podle definice limity posl. musí existovat pro každé $\epsilon>0$ $n_0$ , takové, že $\forall n>n_0$ platí $|(a_n+b_n)-(a+b)| <\epsilon$ . Položme $\epsilon=\frac{1}{2}\gamma$ .
Dále víme, že $\forall \gamma>0, \exists n_{a0}$ takové, že $\forall n_a>n_{a0}$ platí $|a_n_a-a|<\gamma$ .
Analogicky $\forall \gamma>0, \exists n_{b0}$ takové, že $\forall n_b>n_{b0}$ platí $|b_n_b-b|<\gamma$ .
Zvolíme-li $n_0 = \max\{n_{a0}, n_{b0}\}$ a $n>n_0$ poté lehce z $\lim{(a_n+b_n)}=a+b$ odvodíme: $|(a_n+b_n)-(a+b)| = |(a_n-a)+(b_n-b)| \le |a_n-a|+|b_n-b| < 2\gamma=\varepsilon$ .
Je to takto dobře? Nebo alespoň lepší? Není tam někde chyba třeba v tom jak se vyjadřuji? Jde mi právě o to, jak jste řekl, vybrousit přesnost.
Děkuji za Váš čas.

Rumburak · 22. 10. 2014 11:42

↑ Kdosi:

To už je lepší. Ještě bych navrhl drobné úpravy - řekněme takto:

Podle definice limity posl. :
pro každé $\epsilon>0$ musí existovat $n_0$ , takové, že

(1) $\forall n>n_0 : (a_n+b_n)-(a+b)| <\epsilon$ .

Zvolme $\epsilon>0$ a hledejme k němu $n_0$ takové, aby platilo (1).

Položme $\gamma =\frac{1}{2}\epsilon$ , tedy $\gamma > 0$ .

Z předpokladu $\lim{a_n}=a$ plyne, že

(a) $\exists n_{a0}: \forall n>n_{a0}: |a_n - a|<\gamma$ ,

Z předpokladu $\lim{b_n}=b$ plyne, že

(b) $\exists n_{b0}: \forall n>n_{b0}: |b_n - b|<\gamma$ .

Pro $n_0 = \max\{n_{a0}, n_{b0}\}$ tedy platí: je-li $n > n_0$ , potom

(c) $|(a_n+b_n)-(a+b)| = |(a_n-a)+(b_n-b)| \le |a_n-a|+|b_n-b| < 2\gamma=\varepsilon$ ,

což jsme chtěli dokázat. (QED)

Píšeš:

lehce z $\lim{(a_n+b_n)}=a+b$ odvodíme:

To je chyba. Výrok (c) plyne z (a), (b).
Z výroku $\lim{(a_n+b_n)}=a+b$ nelze nic odvozovat, když není ještě dokázán. Dokázán bude
teprve nerovností (c).

Kdosi · 22. 10. 2014 17:58

↑ Rumburak:
Děkuji, takže krom zvýrazněného začátku a problému s (c) je to v pořádku?
K (c): chápu tedy dobře, že v podstatě jsem tedy logicky postupoval zprava doleva, abych vycházel pouze z předpokladů? tj.:
Vím, že $\varepsilon=2\gamma>|a_n-a|+|b_n-b| \ge |(a_n-a)+(b_n-b)| =|(a_n+b_n)-(a+b)|$ .

Rumburak · 24. 10. 2014 10:52

↑ Kdosi:

Snažil jsem se upozornit na to, co (podle mého názoru) v pořádku nebylo, takže to, na co jsem neupozornil, jsem vnímal,
jako že to v pořádku je. U matematického důkazu je obecně důležité,

1) aby každý jeho krok byl logicky průhledný (pro toho, kdo rozumí pojmům, které se v něm vyskytují), což často
zmamená nevyhýbat se práci s detaily,

2) aby jednotlivé kroky na sebe správně navazovaly.

K tomu napomůže, když se autor důkazu vžije do role učitele, který důkaz přednáší svým žákům.

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2014 22:50

Důkaz-limita součtu=součet limit

#2 20. 10. 2014 10:54 — Editoval Rumburak (20. 10. 2014 11:16)

Re: Důkaz-limita součtu=součet limit

#3 20. 10. 2014 11:14 — Editoval Kdosi (20. 10. 2014 11:19)

Re: Důkaz-limita součtu=součet limit

#4 20. 10. 2014 11:59 — Editoval Rumburak (20. 10. 2014 16:22)

Re: Důkaz-limita součtu=součet limit

#5 21. 10. 2014 22:31

Re: Důkaz-limita součtu=součet limit

#6 22. 10. 2014 11:42

Re: Důkaz-limita součtu=součet limit

#7 22. 10. 2014 17:58

Re: Důkaz-limita součtu=součet limit

#8 24. 10. 2014 10:52

Re: Důkaz-limita součtu=součet limit

Zápatí