Matematické Fórum

Callme · 21. 10. 2014 09:40 — Editoval Callme (21. 10. 2014 21:02)

Cavte ako vyriesim
Napíšte aspoň 6 prvkov a nájdite infimum, suprémum, minimum a maximum množiny $A_3 = \{\frac{2n-1}{3n+1},\; n \in \mathbb{Z}\}$
$A_{3}$ = $A_{3} = \{-1,\frac{1}{4},\frac{3}{7},\frac{1}{2},\frac{3}{2},1,\frac{7}{8}\}$
inf $A_{3}$ = ?
min $A_{3}$ = ?
max $A_{3}$ = ?
sup $A_{3}$ = ?
Pri tych otaznikoch by som potreboval vediet ako sa to zistilo

Formol · 21. 10. 2014 11:51

Ahoj, předpokládám, že ti jde o tuto množinu:
$A_3 = \{\frac{2n-1}{3n+1},\; n \in \mathbb{Z}\}$

Suprémum, infimum, maximum i minimum najdeš přímo z definice těchto pojmů. Aby bylo ze vztahu popisujícího množinu vidět, jak to bude s těmi závorami a t tím nejmenším/největším prvkem, zlomek si poděl a pokračuj s tvarem:
$A_3= \{\frac{2}{3}-\frac{5}{3(3n+1)},\; n \in \mathbb{Z}\}$

Callme · 21. 10. 2014 13:10

↑ Formol:
Naco si upravil tu mnozinu? Z toho ja dokazem vycitat len prvky mnoziny ale ako zistim ktory prvok z nich bude najväcsi, najmensi... Z tych prvkov ktore som vypisal je $\frac{3}{2}$ najväcsi a $-1$ najmensi ale ako viem ci nebude iny prvok mensi alebo väcsi ked budem pokracovat vo vypisovani prvkov?

Formol · 21. 10. 2014 13:31

↑ Callme:
Pokud jsem pochopi tvé zadání, tak máš množinu A3 a máš následující úkoly:
1. Vypiš podmnožinu A3 s nejméně šesti prvky.
2. Urči suprémum A3 (tedy zadané množiny).
....

Z toho upraveného tvaru dokážeš (bys měl dokázat) vyčíst např. to, jak se bude číselná hodnota chovat pro n jdoucí k plus mínus nekonečnu (a z toho vyvodit něco o jedněch závorách) a měl bys odhadnout nějaký lokální extrém a z toho se zamyslet nad minimem a maximem.

vanok · 21. 10. 2014 13:45

Poznamka:
Co moze pomoct je vyzualizovat na vhodnom grafe danu mnozinu.
Pozor to ne da dokaz, ale moze to byt dobra pomoc

Callme · 21. 10. 2014 20:58 — Editoval Callme (21. 10. 2014 21:35)

Akym sposobom urcim max,min,sup a inf da sa to zistit z tych 6 hodnot? Z grafu vidno ze cim väcsie kladne cislo tym je hodnota väcsia a pri zapornych cislach mensia

Formol · 22. 10. 2014 07:46

↑ Callme:
Z těch šesti hodnot obecně nezjistíš nic, to je jako kdybys hledal ztracené klíče pod lucernou, i když jsi je ztratil v lese.

Asi se koukáš na špatný graf. Graf, o kterém psal ↑ vanok:, vypadá takto: odkaz, pro tebe jsou zajímavé jen hodnoty pro celočíselné x.

Callme · 22. 10. 2014 09:18 — Editoval Callme (22. 10. 2014 12:05)

↑ Formol:
Tym grafom o ktorom som pisal tak myslim ten spodny z toho grafu sa to da urcit?

Supremum bude $\frac{3}{2}$ to usudzujem z toho grafu a infimum $-1$ rovnako z grafu a dokazem to pre supremum $\frac{2n-1}{3n+1}\le \frac{3}{2}$ co vyjde $n\le -1$ to znamena ze to neplati alebo plati? Pre infimum $\frac{2n-1}{3n+1}\ge -1$ vychadza $n\ge 0$ to znamena co? Robil som to zatial len pre 1. vlastnost

Callme · 22. 10. 2014 18:51

Da sa to nejakym normalnym sposobom zistit lebo kazdy vypisuje nieco ine? To moje riesenie je nezmysel?

Formol · 22. 10. 2014 19:59

↑ Callme:
Ten "horní graf" je detail;-)
Tímto způsobem jsou dokonce 3/2 a -1 dokonce maximum resp. minimum. Z grafu jsi je vlastně uhádl, musíš korektně dokázat - a na do jdeš správně, sestavil jsi si nerovnici a máš ukázat, že platí pro všechna n celá. Při řešení jsi asi udělal chybu v tom, že si musíš uvědomit, že v závislosti na hodnotě n bude jmenovatel kladný nebo záporný a podle toho se bude nebo nebude obracet relace nerovnosti. Tím by mělo vyjít, že to platí.

Zcela analogicky ukážeš, že -1 je minimum. Když už máš maximum a minimum na nějaké podmnožině reálné osy, tak suprémum a infimum s nimi splývá (rozhodně si důkladně rozmysli, proč tomu tak je).

P.S. Zkus používat čárky v souvětím, výrazně tím zvýšíš čitelnost textu;-)

Callme · 22. 10. 2014 21:37

Problem je v tom ako budu vyzerat tie nerovnice lebo to co vyslo mne tak z toho to asi neplati pre $\mathbb{Z}$

Formol · 22. 10. 2014 21:51

Máš nerovici
$\frac{2n-1}{3n+1}\le \frac{3}{2}$

pro n>=0 bude jmenovatel kladný a tedy nerovnice je ekvivalentní s
$(2n-1) \le \frac{3}{2}\,(3n+1)$

tedy
$n \ge -1$

a to je splněno (pro n>=0) vždy.

Podobně pro n<=-1 je jmenovatel záporný a tedy nerovnice je ekvivalentní s:
$(2n-1) \ge \frac{3}{2}\,(3n+1)$

a tedy
$n \le -1$

a to je opět splněno (pro n<=-1) vždy.

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2014 09:40 — Editoval Callme (21. 10. 2014 21:02)

Množina

#2 21. 10. 2014 11:51

Re: Množina

#3 21. 10. 2014 13:10

Re: Množina

#4 21. 10. 2014 13:31

Re: Množina

#5 21. 10. 2014 13:45

Re: Množina

#6 21. 10. 2014 20:58 — Editoval Callme (21. 10. 2014 21:35)

Re: Množina

#7 22. 10. 2014 07:46

Re: Množina

#8 22. 10. 2014 09:18 — Editoval Callme (22. 10. 2014 12:05)

Re: Množina

#9 22. 10. 2014 18:51

Re: Množina

#10 22. 10. 2014 19:59

Re: Množina

#11 22. 10. 2014 21:37

Re: Množina

#12 22. 10. 2014 21:51

Re: Množina

Zápatí