Matematické Fórum

Sheldon.C · 21. 10. 2014 17:27

Ahoj, moc prosím o radu s příkladem z vyšší úrovně státní maturity.
Platí:
$z=2(\cos\frac{\pi }{6}+i\sin\frac{\pi }{6})$
Děkuji moc za rady, příklad mi pořád nevychází

janca361 · 21. 10. 2014 18:13

↑ Sheldon.C:
Je moc velký problémurčit hodnoty $\cos \frac{\pi}{6}$ a $\sin \frac{\pi}{6}$ . Měl by si to vědět z hlavy, pokud nevíš, použil kalkulačku.

Freedy · 21. 10. 2014 18:16

Ahoj,

komplexní číslo lze zadat algebraicky:
$z = a+b\text{i}$ V gaussově rovině to znamená bod [a;b]
V gaussove rovině však lze bod definovan i jinak než vypsáním souřadnic a to pomocí úhlu sevřeného s kladnou x-ovou poloosou a vzdálenosti bodu do nuly.
Pro komplexní číslo ve tvaru $z = a+b\text{i}$ platí
$z=|z|(\cos \varphi +\text{i}\sin \varphi )$
kde fi je úhel sevřený s kladnou poloosou.
Vzdálenost bodu od počátkou souřadnic [0;0] nám určuje absolutní hodnota. V pravoúhlém trojúhelníku je přeponou právě tato vzdálenost |z|, horizontální odvěsna je "a" a vertikální odvěsna je "b"
Z definice sinu a kosinu lze tedy psát:
$\cos \varphi =\frac{a}{|z|}$
$\sin \varphi =\frac{b}{|z|}$
Řešíš tedy soustavu dvou rovnic sice o jedné neznáme, ale jelikož sinus i kosinus jsou periodické funkce, tak vzikají i výsledky "navíc". Nás zajímá právě ten, kdy se budou dané úhly rovnat.
S touto znalostí lze pak přepisovat goniometrický tvar na algebraický a naopak.

Ve tvém případě však bohatě postačí, když kosinus i sinus vyjádříš a jednoduše roznásobíš závorku.

Sheldon.C · 21. 10. 2014 18:29

omlouvám se, má tam být určit z na třetí, se závorkou jsem roznásobovala, ale nevychází mi to podle výsledků

Freedy · 21. 10. 2014 18:38

Tak pro umocňování čísel v goniometrickém tvaru platí:
$z=|z|(\cos \varphi +\text{i}\sin \varphi )$
$z^n=|z|^n(\cos (n\varphi) +\text{i}\sin (n\varphi ))$

Sheldon.C · 21. 10. 2014 18:50

Omlouvám se, ale pořád vůbec nechápu, jak do toho mám dosadit, má vyjít 8i

misaH · 21. 10. 2014 18:53 — Editoval misaH (21. 10. 2014 18:59)

↑ Sheldon.C:

Miesto n napíš trojku.

Miesto AH z napíš 2.

Fí je pí/6.

Prečo "riešiš" takéto úlohy?

Bez teórie je to škoda času.

Táto úloha sa dá riešiť úplne spamäti, treba si iba pozrieť najzákladnejšiu teóriu. Nastínil ju Freedy.

petrik_ch · 22. 10. 2014 10:55

pi/6 = 30 stupnov;

Je to toto komplexne cislo 2L30 (zadane vo verzorovom tvare):

http://www.hackmath.net/cz/kalkulacka/k … p;submit=1

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2014 17:27

Goniometrie

#2 21. 10. 2014 18:13

Re: Goniometrie

#3 21. 10. 2014 18:16

Re: Goniometrie

#4 21. 10. 2014 18:29

Re: Goniometrie

#5 21. 10. 2014 18:38

Re: Goniometrie

#6 21. 10. 2014 18:50

Re: Goniometrie

#7 21. 10. 2014 18:53 — Editoval misaH (21. 10. 2014 18:59)

Re: Goniometrie

#8 22. 10. 2014 10:55

Re: Goniometrie

Zápatí