Matematické Fórum

ajucha · 25. 10. 2014 15:55

Potřebovala bych poradit,jak jednodušeji vypočítat příklad než výpisem možností.
příklad: Ze všech přirozených čísel n, pro něž je 1<=n<=100, je náhodně vybráno 5 čísel. Určete
a)pravděpodobnost p1, že vybraná čísla lze uspořádat v aritmetické posloupnosti sdiferencí 10
b) pravděpodobnost p2, že vybraná čísla lze uspořádat v aritmetické posloupnosti

Celkem možností vybrání pěti čísel je 100 nad 5 = 75287520
a) vypisovala jsem si možnosti: 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 ->lze vybrat 6 způsoby po sobě jsoucí čísla s d=10
- to samé jsem udělala pro a1=2, a1=3, ...., a1=10 -> to je 10*6=60 způsobů a každý lze vytáhnout 5! způsoby
Takže p1=60*5!/75287520 - je to tak??

b) existuje jednodušší zůsob než takovéto vypisování?
Díky

OndrasV · 25. 10. 2014 16:17

↑ ajucha: Ahoj, u a) asi ne. Když sis zvolila, že je celkem 10 nad 5 možnostmi, takže v 9 případech, tj. když máš ty posloupnosti 1,11 ... až 9,19,..., a 10,20, ... tak můžeš vytáhnout 10x6 kombinací. Protože se uvažuje losování bez pořadí, tak je to 60 děleno C(100,5).

ajucha · 25. 10. 2014 16:28

↑ OndrasV:
ano, pravda. A jiné možnosti tedy v tom a) nejdou?
Co to b),jak to vyřešit? :)

zdenek1 · 25. 10. 2014 17:12

↑ ajucha:
Máš AP s diferencí $d$
nejmenší první člen je vždy 1, potřebuješ největší první člen. Pro ten musí platit $100=a_{1max}+4d$ , tj.
$a_{1max}=100-4d$
Tento člen ti zároveň říká, kolik AP s daným $d$ máš.
Např. pro $d=1$ máš 96 možných AP, první je 1,2,3,4,5 a poslední 96,97,98,99,100.

Takže počet posloupností je $P_n=100-4d$
Jenže to je zase AP. Největší diference je $d=24$ , takže potřebuješ spočítat součet prvních 24 členů posloupnost $P_n$