Matematické Fórum

↑ Argcotgh x:
Ahoj,
zbytečně si komplikuješ život tím, že se snažíš používat maticový zápis. Tvoje úvaha je správná, jsou to polynomy s nulovým absolutním členem. Stačí přímočaře ověřit axiomy vektorového prostoru na polynomech, tj. co je součet dvou takových polynomů, co je součin polynomu skalárem, distributivní zákon, nulový vektor,...

Nějakou bázi můžeš celkem snadno uhádnout tím, že si uvědomíš, jak se chová řád polynomu při sčítání polynomu a při násobení skalárem. Ono to nejde napsat nekostrbatě, takže odpověď jsem skryl;-)

Skrytý text:
Prostě si zvol za bázi .

↑ Argcotgh x:
Pokud tím "tato množina myslíš" toto: , tak ano.

↑ Argcotgh x:
Tak v tom případě je to naprosto korektní postup z definice vektorových prostorů. Matice a číslené sloupce jsou velmi šikovnou reprezentací libovolných vektorů, ale někdy je vhodnější zůstat u surových struktur. Když už nic jiného, tak člověk si snáze uvědomí, že vektory nejsou "uspořádané n-tice".

Takže tedy takto?

R je množina skalárů, Množina P^n s operacemi
-sčítání skalárů, a
-násobení vektoru skalárem,
je vektorový prostor nad R,
pokud splňuje axiomy

1) asociativita
Obecně: pro všechna u,v,w z vektor.prostoru V platí u + (v + w) = (u + v) + w
Náš případ: pro všechna x^i, x^j, x^k z P^n platí x^i + (x^j + x^k) = (x^i + x^j) + x^k
Speciální případ:  např. x + (x^2 + x^3) = (x + x^2) + x^3

2) existence neutrálního prvku
Obecně: existuje alespoň jeden prvek 0 náležející V, takový, že pro všechna v náležející V platí: 0 + v = v + 0  = v
Náš případ: existuje alespoň jeden prvek 0 náležející P^n, takový, že pro všechna x^n náležející P^n platí:
0 + x^i = x^i + 0 = x^i
Speciální případ: např. x + 0 = 0 + x = x
Zdůvodnění: relaci P(0) = 0 splňuje i polynom obsahující 0.

3) existence opačných prvků:
Obecně: pro všechna v z V existuje alespoň jeden prvek (-v) náležející V takový, že v + (-v) = (-v) + v = 0
Náš případ: pro všechna x^n z P^n existuje alespoň jeden prvek (-x^n) náležející V takový, že x^n + (-x^n) = (-x^n) + x^n = 0
Speciální případ: x + (-x) = (-x) + x = 0

4) komutativita:
Obecně: pro všechna u,v z V platí u + v  = v + u
Náš případ: pro všechna x^i + x^j = x^j + x^i
Speciálně: x + x^2 = x^2 + x

5) distributivita sčítání skalárů a násobení vektoru skalárem
Obecně: pro všechna r,s náležející R, v náležející V platí: (r +s)*v = r*v + s*v
Náš případ: pro všechna r,s náležející R, x^n náležející P^n, platí  (r +s)*x^n = r*x^n + s*x^n
Speciální případ: (r + s)*x = r*x + s*x

6) distributivita sčítání vektorů násobení vektoru skalárem
Obecně: pro všechna r,s náležející R, u, v náležející V platí r*(u + v) = r*u + r*v
Náš případ: pro všechna r,s náležející R, x^i a x^j náležející P^n, platí r*(x^i + x^j) = r * x^i + r * x^j
Speciální případ: r*(x + x^2) = r*x + r*x^2

7) distributivita, případně asociativita násobení skalárů a násobení vektoru skalárem
Obecně: pro všechna r,s náležející R, v náležející V platí: r*(s*v) = (r*s)*v
Náš případ: pro všechna r,s náležející R, x^n náležející P^n, platí: r*(s*x^n) = (r*s)*x^n
Speciální případ: r*(s*x) = (r*s)*x

8) Násobení jednotkovým skalárem je identita
Obecně: pro všechna v náležející V: 1*v = v
Náš případ: 1*x^n = x^n
Speciální případ: 1*x = x

Ahoj ↑ Argcotgh x:,
Akoze je jasne ze mas dokazat, ze textom dana mnozina je podmnozina vektoroveho priestoru polynomov pre bezne zakony( operacie), tak staci dokazat ze dana mnozina pre tie iste zakony je linearny podpriestor, priestoru polynomov.
Akoze, podla viet co ste uz dokazali, tvoj dokaz sa da velmi skratit.
Mozes pripomenut co staci dokazat.... A dokaz to.